NEMANJA: SMIRENOUMLJE

utorak, 20.03.2007.

Gödel, Escher, Bach

RUPA U SRCU MATEMATIKE

Image and video hosting by TinyPic

Pozamašna knjiga objavljena prije dva desetljeća, Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid (1979), učinila je Douglasa Hofstadtera (1945) svjetski poznatim autorom znanstveno-filozofske esejistike. Za časopis »Time«, poseban broj posvećen »najvećim umovima 20. stoljeća«, od 29. ožujka 1999, Hofstadter je napisao članak o matematičaru Kurtu Gödelu.
Prevodimo ga u cijelosti, u našoj opremi.



Kurt Gödel rođen je 1906. u Brnu (njem. Brunn), gradu koji se tada nalazio u Austro-Ugarskoj Monarhiji, a danas pripada Češkoj Republici, od oca koji je posjedovao tvornicu tkanine i bio privržen logici i razumu, i od majke koja je smatrala da sinovo obrazovanje treba započeti rano. S deset godina, Gödel je proučavao matematiku, vjeronauk i nekoliko jezika. S dvadeset i pet, izradio je nešto što mnogi drže najvažnijim rezultatom matematike u 20. stoljeću: svoj glasoviti »teorem o nepotpunosti«. Gödelovo iznenađujuće i zbunjujuće otkriće, objavljeno 1931, dokazalo je da je približno čitavo stoljeće napora najvećih svjetskih matematičara bilo osuđeno na neuspjeh.

Kako bi se mogla ocijeniti vrijednost Gödelova teorema, ključno je razumjeti kako se u to vrijeme gledalo na matematiku. Pošto je kroz mnoga stoljeća bila tipično nesređena ljudska mješavina u kojoj su ravnopravno supostojale mutne intuicije i precizna logika, matematika je potkraj 19. stoljeća konačno uobličena. Izumljeni su takozvani formalni sustavi (najuspjeliji primjer je Russellovo i Whiteheadovo djelo Principia mathematica) u kojima teoremi, slijedeći stroga pravila izvođenja, niču iz aksioma kao grane iz debla. Taj proces nicanja teorema morao je negdje započeti i tu su onda nastupali aksiomi: oni su bili prvobitne sjemenke, prateoremi iz kojih su klijali svi ostali.

Ljepota te mehanicističke predodžbe matematike sastojala se u eliminaciji svake potrebe za razmišljanjem ili prosuđivanjem. Sve dok su aksiomi bili istinite tvrdnje i dok su pravila izvođenja bila takva da čuvaju istinitost, matematika nije mogla ispasti iz kolosijeka; lažne tvrdnje jednostavno se nikako nisu mogle potkrasti. Istina je bila automatsko nasljedno svojstvo teoremstva.

Zbirke simbola kojima su se tvrdnje u formalnim sustavima bilježile redovito su uključivale, zbog jasnoće, standardne znamenke brojeva te uz njih znakove, zagrade i tome slično, ali to nije bilo nužno obilježje; tvrdnje su jednako dobro mogle biti načinjene od ikona koje bi predstavljale šljive, banane, jabuke i naranče, ili od neke posve arbitrarno odabrane zbirke kokošjih zagrebotina, pod uvjetom da se određena kokošja zagrebotina uvijek pojavljuje na mjestu koje joj pripada i samo na takvu pripadajućem mjestu. Matematičke tvrdnje u takvim sustavima, postalo je tada jasno, bile su samo precizno strukturirani uzorci arbitrarnih simbola.

Uskoro je nekolicini pronicavih duhova, i među njima ponajprije Gödelu, postalo jasno da takav način gledanja na stvari otvara posve novu granu matematike — naime metamatematiku. Poznate metode matematičke analize mogle su se okrenuti prema samim procesima proizvodnje uzoraka koji tvore bit formalnih sustava — među kojima je matematika trebala biti poglaviti primjer. Tako se matematika nadvija nad samu sebe, kao zmija koja guta svoj rep.

Marsovska matematika

Gödel je pokazao da se čudnovate posljedice pojavljuju kada se leće matematike usredotoče na samu matematiku. Jedna mogućnost da se to konkretizira jest da zamislimo da na nekom dalekom planetu (recimo Marsu) svi simboli što se koriste pri pisanju matematičkih knjiga, zahvaljujući nekoj zapanjujućoj slučajnosti, izgledaju kao naše znamenke od 0 do 9. Tako kad Marsovci raspravljaju u svojim udžbenicima o stanovitom važnom otkriću koje mi na Zemlji pripisujemo Euklidu i koje bismo mi izrazili ovako: »Ima beskonačno mnogo prim-brojeva«, ono što oni zapisuju izgleda ovako: »8445329844508787863070005766619463864545067111«. Nama to izgleda kao jedan veliki 46-znamenkasti broj. No, za Marsovce to uopće nije broj nego tvrdnja; ona za njih zaista iskazuje beskonačno mnoštvo primova jednako bjelodano kao što to, koji redak iznad, za vas i mene čini onaj niz od 29 slova što tvore pet riječi.

Sada zamislimo da želimo razgovarati o općenitoj naravi svih matematičkih teorema. Zagledamo li u marsovske udžbenike, svi takvi teoremi nama će se činiti kao sami brojevi. I tako bismo mogli izgraditi složenu teoriju o tome koji se brojevi mogu pojaviti u marsovskim udžbenicima, a koji se ondje nikada neće pojaviti. Naravno da pritom zapravo nećemo govoriti o brojevima, nego o nizovima simbola što nama izgledaju kao brojevi. Pa ipak, ne bi li nam bilo lakše zaboraviti što ti nizovi simbola Marsovcima znače i jednostavno gledati na njih kao na obične stare znamenke?

Pomoću tog jednostavnog pomaka motrišta, Gödel je izvodio moćnu čaroliju. Gödelovski trik sastoji se u tome da zamislimo proučavanje onoga što bi se moglo zvati »brojevi proizvodljivi na Marsu« (to jest onih brojeva koji su zapravo teoremi u marsovskim udžbenicima), i postavljanje pitanja kao što je »Je li broj 8030974 proizvodljiv na Marsu (skraćeno PM) ili nije?«. To pitanje znači: hoće li se tvrdnja '8030974' ikada pojaviti u marsovskim udžbenicima?

Razmišljajući vrlo pomno o tom poprilično nadrealnom scenariju, Gödel je uskoro shvatio da svojstvo PM nije uopće toliko različito od takvih prisnih pojmova kao što su »prim-brojevi«, »neparni brojevi«, i tako dalje. Tako bi se zdravorazumski teoretičari brojeva mogli, pomoću svojih standardnih alata, pozabaviti pitanjima kao što je na primjer »Koji su brojevi PM, a koji nisu?«, ili »Ima li beskonačno mnogo PM brojeva?«. Napredniji matematički udžbenici — na Zemlji, a u načelu i na Marsu — mogli bi sadržavati čitava poglavlja o PM brojevima.

I tako je Gödel, u jednom od najprodornijih uvida u povijesti matematike, sročio iznimnu tvrdnju koja jednostavno glasi: »X nije PM broj«, gdje je X upravo onaj broj koji čitamo kada se tvrdnja »X nije PM broj« prevede u marsovsku matematičku notaciju. Mislite malo o tome dok ne shvatite u čemu je stvar. Prevedena u marsovsku notaciju, tvrdnja »X nije PM broj« izgledat će nam tek kao neki dugi niz znamenaka — kao vrlo velik broj. Ali taj komad marsovskoga pisma jest naš zapis broja X (o kojem govori sama tvrdnja). Čuli smo za svakakve uvrnutosti; ali ovo je zaista uvrnuto! No, uvrnutosti su bile Gödelova specijalnost — uvrnutosti u tkivu prostor-vremena, uvrnutosti u rasuđivanju, uvrnutosti svake vrste.

Nepotpunost formalnih sustava

Razmišljajući o teoremima kao modelima simbola, Gödel je otkrio da je moguće ne samo da tvrdnja u nekom formalnom sustavu govori o sebi samoj nego i da porekne vlastito teoremstvo. Konzekvencije toga neočekivanog zapetljaja prikrivena u njedrima matematike bile su bogate, izluđujuće i — začudo — vrlo žalosne za Marsovce. Zašto žalosne? Zato što su se Marsovci, kao i Russell i Whitehead, od sveg srca nadali da će njihov formalni sustav obuhvatiti sve istinite matematičke tvrdnje. Ako je Gödelova tvrdnja istinita, ona nije teorem u njihovim udžbenicima i nikada se, baš nikada, neće u njima pojaviti — zato što sama tvrdi da neće! Ako bi se pak pojavila u njihovim udžbenicima, tada bi ono što o sebi tvrdi bilo netočno, a tko bi — makar i na Marsu — želio matematičke udžbenike koji naučavaju neistine kao da su istinite?

Konačni učinak svega toga jest da se priželjkivani cilj formalizacije pokazao himeričkim. Svi formalni sustavi — ili barem oni koji su dovoljno moćni da bi bili zanimljivi — pokazuju se nepotpunima, zato što su sposobni izraziti tvrdnje koje o sebi govore da su nedokazive. I to je, u biti, ono što se ima na umu kada se kaže da je Gödel 1931. demonstrirao »nepotpunost matematike«. Zapravo, nepotpuna nije sama matematika, nego bilo koji formalni sustav koji kuša uhvatiti sve matematičke istine u svoj konačni sklop aksioma i pravila. Vama to ne mora izgledati šokantno, ali je matematičarima iz tridesetih godina preokrenulo čitav svjetonazor i matematika odonda nikada više nije bila ista.

Gödelov članak iz 1931. učinio je još nešto: izumio je teoriju rekurzivnih funkcija, koja je danas temelj jedne moćne teorije računalstva. Zaista, u srcu Gödelova članka leži nešto što se može motriti kao složen kompjutorski program za proizvodnju PM brojeva, a taj je »program« napisan u formalizmu koji uvelike nalikuje programskom jeziku Lisp, koji je izumljen istom gotovo trideset godina kasnije.

Gödel kao čovjek nije bio ništa manje ekscentričan od svojih teorija. On i njegova žena Adele, plesačica, pobjegli su pred nacistima 1939. i skrasili se na Institutu za viša istraživanja u Princetonu, gdje je Gödel radio s Einsteinom. U njegovim kasnijim godinama Gödela je obuzeo paranoičan strah od širenja klica i on je postao čuven po opsesivnu čišćenju svoga pribora za jelo te nošenju skijaške obrazine s otvorima za oči kamo god bi išao. Umro je u dobi od 72 godine u jednoj prinstonskoj bolnici, u biti zbog toga što nije htio jesti. Slično kao što su formalni sustavi, upravo zahvaljujući svojoj moći, osuđeni na nepotpunost, živa su bića zahvaljujući svojoj složenosti osuđena da propadnu, svako na vlastiti jedinstven način.

Douglas Hofstadter

Preveo Stanko Andrić

Image and video hosting by TinyPic


Bonustrack

nemanja - primjeti Das Schloss : ;)

"Godel's Theorem has many profound implications, both for science and for philosophy. ... Godel's message is that mankind will never know the final secret of the universe by 'finitistic' or constructivistic thought alone; it's impossible for human beings ever to formulate a complete description of the natural numbers. There will always be arithmetic truths that escape our ability to fence them in by any kind of finite analysis. As Rudy Rucker has expressed it, Godel's Theorem leaves scientists in a position similar to that of Joseph K. in Kafka's novel 'The Trial'. We scurry around, running up and down endless corridors, buttonholing people, going in and out of offices, and, in general, conducting investigations. But we will never achieve ultimate success; there is no final verdict in the court of science leading to absolute truth. However, Rucker notes, "To understand the labyrinthine nature of the castle [i.e., court] is, somehow, to be free of it." And there's no understanding of the court of science that digs deeper into its foundations that the understanding given by Godel's Theorem."

Casti, John - Searching for Certainty

skica dokaza:

The proof of Gödel's Incompleteness Theorem is so simple, and so sneaky, that it is almost embarassing to relate. His basic procedure is as follows:

1. Someone introduces Gödel to a UTM, a machine that is supposed to be a Universal Truth Machine, capable of correctly answering any question at all.
2. Gödel asks for the program and the circuit design of the UTM. The program may be complicated, but it can only be finitely long. Call the program P(UTM) for Program of the Universal Truth Machine.
3. Smiling a little, Gödel writes out the following sentence: "The machine constructed on the basis of the program P(UTM) will never say that this sentence is true." Call this sentence G for Gödel. Note that G is equivalent to: "UTM will never say G is true."
4. Now Gödel laughs his high laugh and asks UTM whether G is true or not.
5. If UTM says G is true, then "UTM will never say G is true" is false. If "UTM will never say G is true" is false, then G is false (since G = "UTM will never say G is true"). So if UTM says G is true, then G is in fact false, and UTM has made a false statement. So UTM will never say that G is true, since UTM makes only true statements.
6. We have established that UTM will never say G is true. So "UTM will never say G is true" is in fact a true statement. So G is true (since G = "UTM will never say G is true").
7. "I know a truth that UTM can never utter," Gödel says. "I know that G is true. UTM is not truly universal."

Think about it - it grows on you ...

With his great mathematical and logical genius, Gödel was able to find a way (for any given P(UTM)) actually to write down a complicated polynomial equation that has a solution if and only if G is true. So G is not at all some vague or non-mathematical sentence. G is a specific mathematical problem that we know the answer to, even though UTM does not! So UTM does not, and cannot, embody a best and final theory of mathematics ...

Although this theorem can be stated and proved in a rigorously mathematical way, what it seems to say is that rational thought can never penetrate to the final ultimate truth ... But, paradoxically, to understand Gödel's proof is to find a sort of liberation. For many logic students, the final breakthrough to full understanding of the Incompleteness Theorem is practically a conversion experience. This is partly a by-product of the potent mystique Gödel's name carries. But, more profoundly, to understand the essentially labyrinthine nature of the castle is, somehow, to be free of it.

Rucker, Infinity and the mind

Od Gödela do Boga ;)

Malo analogija:

Gödelov teorem u biti glasi - Sustav ne može u isto vrijeme biti konzistnentan i konačan, odnosno: ono nedovršeno i ono dinamično je Bolje od onog statičnog i onog konačnog.

Robert Pirsig u svojim dvijema knjigama (Zen and the Art of Motorcycle Maintenance: An Inquiry into Values (1974) i Lila: An Inquiry into Morals (1991) ) koncipira zametnutu ideju kvalitete (što je dobro Fedro?) ističući upravo kvalitetu kao - to proton kinoun -- primum movens. I tako povezao Dobro sa Dinamičnim.

sa wiki:

Quality

"Quality", or "value" as described by Pirsig, cannot be defined because it empirically precedes any intellectual constructions. It is the "knife-edge" of experience, known to all. "What distinguishes good and bad writing? Do we need to ask this question of Lysias or anyone else who ever did write anything?" (Plato's Phaedrus, 258d). Likening it with the Tao, Pirsig believes that Quality is the fundamental force in the universe stimulating everything from atoms to animals to evolve and incorporate ever greater levels of Quality. According to the MOQ, everything (including mind, ideas and matter) is a product and a result of Quality.

Static and Dynamic qualities

The MOQ(Metaphysics Of Quality) divides Quality into two forms: static quality patterns (patterned) and Dynamic Quality (unpatterned). The four patterns of static value as well as Dynamic Quality account exhaustively for all of reality. As the initial (cutting edge) Dynamic Quality become habituated, it turns into static patterns. It is important to note that Pirsig is not proposing a duality: Quality is one, yet manifests itself differently.

Dynamic Quality

Dynamic Quality includes everything not static. Dynamic Quality is the force of change in the universe; when this aspect of Quality becomes habitual or customary it becomes static. Pirsig called Dynamic Quality "the pre-intellectual cutting edge of reality" because it can be recognized before one can think about it. What does it mean ? Quality lies in the moment we sense anything during the instantaneous present; with a short delay we give this impression a static form by describing it as emotion, thing, word etc. These static forms, if they have enough good or bad quality, are given names and are interchanged with other people, building the base of knowledge for a culture. So some cultures divide between things other cultures perceive as equal (Pirsig give as example the sounds of the Indian syllables "dha" and "da" which are absolutely equal for western ears) and some cultures haven't any words for a specific meaning at all (The exact meaning of the German word "verklemmt" cannot be translated in English). It also explains that the Dynamic beauty of a piece of music can be recognized before reading any static analysis explaining why the music is beautiful.

Platonova (jedna od formi) ideja Dobra (koja je istovjetna ideji kršćanskog Boga prema nekim ) je u smislu prožetosti, napetosti : "My opinion is that in the world of knowledge the idea of good (the Good) appears last of all, and is seen only with an effort; and, when seen, is also inferred to be the universal author of all things beautiful and right, parent of light and of the lord of light in this visible world, and the immediate source of reason and truth in the intellectual." (517b,c) Republic Book 7

i neizostavni Bela:

Bela Hamvas u Scientia Sacra II - Kršćanstvo :

Božje prisustvo nije u gorkom i divljem mraku prve prirode. Ali nije ni u izjednačenju, ni u miru, ni u svjetlosti. Bog je u transformaciji, u kojoj mahnitost hvata za gušu sila koja je jača od nje. Bog je u kretnji iz koje zrači i koja se u samoprijegoru okreće protiv vlastite prirode, slavodobitno izlazi iz tog zaokreta, istodobno stoji u opreci s mračnim silama, ponovno se okreće protiv sebe i ponovno svladava sebe. Napor da stalno bude on sam, istodobno da bi bio iznad sebe,da živi i da pobijedi sebe. Da razriješi sve svoje strasti i da ih drži na uzdi. Da potone u mraku i da se pokaže kao svjetlost.

A na istoku Shiva pleše već tisućama godina... Brat Vertebrata

Image and video hosting by TinyPic

- 09:29 - Komentari (11) - Isprintaj - #


View My Stats

Blog.hr koristi kolačiće za pružanje boljeg korisničkog iskustva. Postavke kolačića mogu se kontrolirati i konfigurirati u vašem web pregledniku. Više o kolačićima možete pročitati ovdje. Nastavkom pregleda web stranice Blog.hr slažete se s korištenjem kolačića. Za nastavak pregleda i korištenja web stranice Blog.hr kliknite na gumb "Slažem se".Slažem se