Matematika za svakoga

Evo jednog teškog zadatka, izdvojite malo vremena i pokušajte ga riješiti samostalno.

Neki čovjek nalazi se u robnoj kući. Prilazi pokretnim stepenicama(elevatoru) i pada mu napamet da ih izbroji, ali to je neizvedivo jer su one stalno u pokretu. Stoga ih prvo broji dok se jednolikim tempom uspinje nasuprot njima i pri tome izbroji 90 stepenica. Potom se istim tempom spušta nazad, dakle sada u istom smjeru kao i stepenice i pritom izbroji samo 60 stepenica. Koliko stepenica će čovjek izbrojiti u slučaju da prolazi elevatorom koji miruje?

(Pomoć: rješenje je 72 stepenice).

Rješenje:
Polazimo od formule s=v * t, gdje je v konstantna brzina, s je put, a t vrijeme potrebno da se prijeđe taj put pri toj brzini. U našem slučaju put je duljina elevatora. Uzmimo da se čovjek kreće brzinom v1, a elevator brzinom v2. Naravno da v1 > v2, jer čovjek inače ne bi mogao napredovati protiv elevatora. Što se tiče trajanja uspona i silaska, mozemo reći da uspon traje 90 vremenskih jedinica, a silazak 60. Duljina elevatora nije nam bitna, a nisu nam bitne ni brzine čovjeka i elevatora. Te varijable medjusobno su proporcionalne, što se lako pokazuje ako krenemo sa dvije jednadzbe:
put=(v1+v2)*60 i
put=(v1-v2)*90.
Iz ovoga dobivamo v1=put/72 i v2= put/36. Sada jos tražimo koliko vremenskih jedinica( isto nije bitno kojih) treba čovjeku da prođe elevator dok je nepokretan, dakle trazimo t iz jednadzbe put=v1*t => put = put/72 * t, iz cega slijedi t=72. Kako smo t poistovjetili sa brojem stepenica, ispada da elevator ima 72 stepenice.

Oznake: matematika zadatak

Vrijeme je blagdanskih gužvi, to se odražava na sve, uobičajena impulzivnost i razdražljivost kao da se prikrivaju ovih dana, možda svjesne svoje nemoći. Strpljivost i tolerantnost nekako izbijaju u prvi plan i kao da svi zajedno dišu i ponašaju se nekako drugačije.
Neki dan čekam autobus broj 5 (peticu) dobrih 30 minuta, inače se čeka nekih 10 minuta. Vozim se neko vrijeme do odredišta, izlazim iz busa i vidim kako nailazi i druga petica. Naravno, ona je skoro prazna za razliku od one prekrcane u kojoj sam se ja vozio. Zašto dolazi do tih oscilacija u redoslijedu vožnje, probajmo malo 'matematički' proanalizirati.

Znamo da autobusi sa početne stanice kreću svakih 10 minuta. Uzmimo da je prosječna brzina autobusa na liniji nekih 40 km/h, za deset minuta autobus u prosjeku prođe nekih 40/6 km, što je približno 6,67 km i to uzimamo kao neki prosječan razmak između dva uzastopna autobusa. Taj razmak će se smanjiti kada raniji (prvi) autobus uspori u odnosu na kasnijeg (drugog) ili kasniji (drugi) ubrza u odnosu na ranijeg (prvog). I obrnuto – povećat će se kada prvi autobus ubrza u odnosu na drugog ili drugi uspori u odnosu na prvog. U praksi se najčešće dogodi da autobus naleti na gužvu, smanji brzinu, a slijedeći autobus još neko vrijeme vozi normalnom brzinom, smanjujući pritom svoju udaljenost prema prvom autobusu. Ta udaljenost (razmak) će se smanjivati dokle god i ovaj drugi autobus ne uspori na minimalnu brzinu ( brzinu gužve).

Ukoliko i prvi i drugi autobus prođu proces usporavanja i uključivanja u gužvu na potpuno jednak način, dakle ukoliko izgube jednako mnogo vremena od usporavanja do potpunog uključenja u gužvu, i ako od potpunog usporavanja prvog autobusa do potpunog usporavanja drugog autobusa prođe točno 10 minuta, možemo reći da će vremenski razmak između njih ostati istih 10 minuta, dok će se međusobna udaljenost(kao i brzina) očito smanjiti. U praksi se ovo ne može dogoditi – recimo da je prvi autobus počeo usporavati kod točke A, jasno je da će drugi autobus, zbog daljnjeg gomilanja vozila, početi usporavati ranije, dakle proći će manje od traženih 10 minuta. Možemo li izračunati kako se taj razmak smanjuje tijekom vremena, kada će on postići svoj minimum i kolika će biti novonastala vremenska distanca među autobusima? Za tu svrhu moramo posegnuti za formulama za jednoliko (s=v x t), jednoliko usporeno(s=v x t - a/2 x t**2) i jednoliko ubrzano gibanje(s=v x t+a/2 x t**2).
Uzmimo da je prvom autobusu od početka kočenja (točka A) potrebno 2 minute da mu se brzina ustali na minimalnu (brzinu gužve). Uzmimo nadalje da nakon još 7 minuta i drugi (slijedeći) autobus počinje kočiti (prije točke A) i da mu je potrebno iste 2 minute da se ustali u gužvi. Prema gornjim formulama dobit ćemo da je razmak među autobusima u gužvi sada 2,17 km i nova vremenska distanca među njima 13 minuta.
(Ovdje se možemo još malo osvrnuti na onih 7 minuta koje smo oproizvoljno uzeli. Jesmo li mogli točnije odrediti kada i gdje će drugi autobus početi kočiti? Uzmimo da se između naša dva autobusa u prosjeku svakih 30 metara nalazi jedno vozilo, na duljinu od 6,67 km to je otprilike 222 vozila. Recimo da od momenta kočenja prvog autobusa kod točke A, svakom vozaču u prosjeku treba 2 sekunde za reakciju i početak kočenja, izlazi da će vozač drugog autobusa početi kočiti nakon otprilike 7,4 minute. Do tada su se već vozila ispred njega stisnula na prosječnih 10 metara po autu pa ispada da drugi autobus počinje kočiti otprilike 1,78 km prije točke A.)
Mi ostajemo i dalje na onih naših 7 minuta. Rekli smo da su autobusi sad u koloni sa vremenskom distancom od 13 minuta i udaljenošću od 2,17 km. Zamislimo sada da sva vozila u koloni nakon nekog vremena istovremeno ubrzavaju na 'normalnih' 40 km/h, vremenska distanca se topi i smanjuje se na 3,255 minuta. U praksi je naravno sasvim druga priča, rezoniraćemo na isti način kao maloprije kad smo se bavili sa onih 222 vozila i njihovim kočenjem. Uzmimo dakle da se gužva počinje raščišćavati, vozila počinju ubrzavati pa tako i naš prvi autobus. Znamo da je između autobusa oko 222 vozila prosječno razmaknutih 10 metara, neka je sada svakom potrebno prosječno 1 minuta za reakciju i početak ubrzavanja, ispada da nakon nekih 3,7 minuta i drugi autobus počinje ubrzavati. Ubrzanje vozila(pa tako i naših autobusa) neka sad traje 1 minutu, dobit ćemo da će se nakon normaliziranja vožnje(4,7 minuta od početka ubrzavanja prvog autobusa) razmak među autobusima povećati na 4 km, a vremenska distanca skratiti na približno 6 minuta. Time smo donekle rasvijetlili uzroke kašnjenja ili uranka autobusa na gradskim linijama.

Za kraj ćemo još odgonetnuti kako to da je druga petica naišla gotovo prazna odmah nakon one moje 'krcate' putnicima. Dok je ova prva stajala na svakoj stanici i kupila putnike, dotle je ova potonja samo 'šibala' gotovo se i ne zaustavljajući i dostizala prvu. Gotovo da mi je žao da u gornjim razmatranjima nisam 'rezonirao' na isti način :)

Vjerujem da ste se pomalo, poput mene, pogubili u ovom problemu. Ovdje se ne radi o točno definiranom problemu sa preciznim ulaznim vrijednostima i preciznim rezultatima, radi se o složenijem problemu kojega pokušavamo rastaviti na što jednostavnije dijelove. Svakom tom dijelu pristupamo na odgovarajući način, uzimamo neke prosječne ulazne vrijednosti i dobijamo neke prosječne rezultate. Pokušavamo zamisliti hoće li se naši rezultati podudarati sa stvarnim rezultatima, možemo,npr., dok se vozimo svojim automobilom u gužvi, pratiti brzinu i prijeđene kilometre i vidjeti da li se 'slažu'. U svakom slučaju, ovo je primjer problema koji se rješava teorijski i praktično!

Oznake: matematika zadatak

Za vrijeme odmora prilikom jedne skupštine mnogi su se sudionici međusobno rukovali. Dokaži da je broj onih koji su se rukovali s neparnim brojem drugih paran.( Zadatak je preuzet iz knjige 'Riješeni zadaci iz više matematike – svezak I', Vladimir Devide, Zagreb, 1978.)

Ukupni broj rukovanja biti će paran. Zašto? Zato jer svako rukovanje između osoba A i B brojimo dva puta –jednom za A i jednom za B. U ukupnom zbroju rukovanja svaku osobu će dakle predstavljati paran ili neparan broj. Kako je konačan zbroj paran, jasno je da moramo imati paran broj neparnih pribrojnika, što je i dokaz tvrdnje.

Zadatak smo mogli riješiti i 'pješice'! Uzmimo da su rukovanje započele dvije osobe. U startu imamo dakle situaciju: dvije osobe sa neparnim brojem rukovanja, što odgovara zahtjevu zadatka. Svaka slijedeća osoba koja se uključi u rukovanje mijenja situaciju na ovaj način:
1. Osoba ima paran broj rukovanja-paran broj sa 'neparnim' rukovateljima i paran broj sa 'parnim'. Što se događa: 'neparni' rukovatelji postaju 'parni', a 'parni' postaju 'neparni'. Rezultat - ponovo paran broj 'neparnih'.
2. Osoba ima paran broj rukovanja - neparan broj sa 'neparnim' rukovateljima i neparan broj sa 'parnim'. Razlika 'parnih' i 'neparnih' ponovo je paran broj, što zadovoljava uvjet.
3. Osoba ima neparan broj rukovanja - paran broj x sa 'neparnim' rukovateljima i neparan broj y sa 'parnim'. Paran broj x 'neparnih' se eliminira, ali dobijamo novih y 'neparnih' plus sama osoba što je opet paran broj.
4. Osoba ima neparan broj rukovanja - neparan broj x sa 'neparnim' rukovateljima i paran broj y sa 'parnim'. Gubimo dakle x 'neparnih', ali dobijamo y+1 novih, razlika je opet parna i uvjet vrijedi.

Ocijenite koji je dokaz elegantniji i snažniji!

Oznake: matematika zadatak