Matematika za svakoga

Posljednja znamenka nekog broja je 6. Premjesti li se ona na prvo mjesto, dobije se šesterostruk broj. Koliki je prvotni broj?( Zadatak je preuzet iz knjige 'Riješeni zadaci iz više matematike – svezak I', Vladimir Devide, Zagreb, 1978.)


Evo jednog zadatka koji na prvi pogled podsjeća na mnoštvo sličnih zadataka tipa zamjene znamenki, no osnovnu poteškoću stvara što ne znamo točan broj znamenki. Zadatak možda i nije toliko težak, koliko zahtijeva disciplinu misli i usredotočenost na postupak rješavanja. Puno se elemenata koncentriralo u rješavanju zadatka: krećemo od osnovnog algoritma množenja ('pišem pet pamtim dva'), zatim je potrebno pregledno prikazati način rješavanja, potom zaključujemo može li zadatak imati rješenje i ako ima kada ćemo doći do njega. Na kraju možemo i poopćiti rješenje.
Neću pisati svoj postupak rješavanja jer smatram da je postupak iz knjige jasniji i bolje obrazložen pa ću jednostavno skenirati rješenja.

Oznake: matematika

Vjerojatno ste čuli za teorem o beskonačno mnogo prim brojeva koji je na vrlo elegantan način dokazao još Euklid. Poput Euklida i danas ovu tvrdnju najčešće dokazuju kontradikcijom. Na seminaru Fakulteta elektrotehnike i računarstva pri Sveučilištu u Zagrebu, kod voditelja prof. dr. sc. Nevena Elezovića, dokaz ide ovako: 'Pretpostavimo da ima konačno mnogo prostih brojeva, i to n njih. Promatrajmo broj 2 x 3 x 5 x 7 x...x pn + 1. On je veći od svakog prostog broja i kao takav ne može biti prost. Nije djeljiv ni sa jednim prostim brojem (pri dijeljenju uvijek ostane ostatak 1). Ovo znači da i taj broj mora biti prost, čime se dobiva kontradikcija.'
U knjizi 'Riješeni zadaci iz više matematike', autora dr. Vladimira Devidea, dokaz ide ovako:
'Očito je dovoljno pokazati da nema najvećeg primbroja, tj. da, kako god velik bio primbroj p, postoji primbroj q koji je veči od p.
Neka je dakle p neki – kako god hoćemo velik – odabrani primbroj. Pogledajmo broj P=p! + 1. P očito nije djeljiv ni jednim primbrojem manjim ili jednakim p ( jer dijeljenje od P takvim primbrojem uvijek daje ostatak 1). Znači, ili je P sam primbroj – koji je tada sigurno veći od p – ili je P djeljiv nekim primbrojem q većim od p – što opet povlači da p nije najveći primbroj. Time je sve dokazano.'
Zanimljivo je da se ovaj drugi dokaz ne bazira na kontradikciji. Uzme se po volji velik prim broj p i uviđamo da možemo uvijek pronaći veći (p! + 1). Ovakvo dokazivanje zadovoljava strogost matematičkog dokazivanja, a opet je nekako intuitivnije i jasnije. Može li se kontradikcija 'svesti' na ovaj način i kod drugih takvih dokaza, vidjet ćemo u nekim od narednih postova.

Oznake: matematika