Matematika za svakoga

Za vrijeme odmora prilikom jedne skupštine mnogi su se sudionici međusobno rukovali. Dokaži da je broj onih koji su se rukovali s neparnim brojem drugih paran.( Zadatak je preuzet iz knjige 'Riješeni zadaci iz više matematike – svezak I', Vladimir Devide, Zagreb, 1978.)

Ukupni broj rukovanja biti će paran. Zašto? Zato jer svako rukovanje između osoba A i B brojimo dva puta –jednom za A i jednom za B. U ukupnom zbroju rukovanja svaku osobu će dakle predstavljati paran ili neparan broj. Kako je konačan zbroj paran, jasno je da moramo imati paran broj neparnih pribrojnika, što je i dokaz tvrdnje.

Zadatak smo mogli riješiti i 'pješice'! Uzmimo da su rukovanje započele dvije osobe. U startu imamo dakle situaciju: dvije osobe sa neparnim brojem rukovanja, što odgovara zahtjevu zadatka. Svaka slijedeća osoba koja se uključi u rukovanje mijenja situaciju na ovaj način:
1. Osoba ima paran broj rukovanja-paran broj sa 'neparnim' rukovateljima i paran broj sa 'parnim'. Što se događa: 'neparni' rukovatelji postaju 'parni', a 'parni' postaju 'neparni'. Rezultat - ponovo paran broj 'neparnih'.
2. Osoba ima paran broj rukovanja - neparan broj sa 'neparnim' rukovateljima i neparan broj sa 'parnim'. Razlika 'parnih' i 'neparnih' ponovo je paran broj, što zadovoljava uvjet.
3. Osoba ima neparan broj rukovanja - paran broj x sa 'neparnim' rukovateljima i neparan broj y sa 'parnim'. Paran broj x 'neparnih' se eliminira, ali dobijamo novih y 'neparnih' plus sama osoba što je opet paran broj.
4. Osoba ima neparan broj rukovanja - neparan broj x sa 'neparnim' rukovateljima i paran broj y sa 'parnim'. Gubimo dakle x 'neparnih', ali dobijamo y+1 novih, razlika je opet parna i uvjet vrijedi.

Ocijenite koji je dokaz elegantniji i snažniji!

Oznake: matematika zadatak

Četiri dječaka A, B, C i D igraju se vukući uže. Dječak B može sam privući na svoju stranu dječake A i C koji drže drugi kraj užeta. Ako jedan kraj užeta vuku A i B zajedno, a drugi kraj C i D zajedno, onda ni jedna grupa dječaka ne može privući na svoju stranu drugu grupu dječaka. Ako sada A i C razmijene mjesta, tada grupa dječaka C i B lako privuče protivnike (A i D). Koji dječak je najjači? Odrediti redoslijed dječaka prema njihovoj snazi.(Zadatak je preuzet iz knjige: '500 odabranih i rešenih zadataka iz matematike', Angelov, Branković, Beograd, 1990)

Idemo redom: jasno je da je B jači i od A i od C jer je jači od obojice zajedno. Ako C umjesto sa A povlači sa D, snage se uravnotežuju, odavdje je jasno da je D jači od A. Ako A i C sada promijene strane, preteže strana gdje je B iz čega zaključujemo da je B jači i od D, kao i da je C jači od A.
Jasno je dakle da je B najjači među dječacima, a A najslabiji, jedino nismo u stanju zaključiti redoslijed dječaka C i D.

Oznake: matematika, zadaci