Vrijeme je blagdanskih gužvi, to se odražava na sve, uobičajena impulzivnost i razdražljivost kao da se prikrivaju ovih dana, možda svjesne svoje nemoći. Strpljivost i tolerantnost nekako izbijaju u prvi plan i kao da svi zajedno dišu i ponašaju se nekako drugačije.
Neki dan čekam autobus broj 5 (peticu) dobrih 30 minuta, inače se čeka nekih 10 minuta. Vozim se neko vrijeme do odredišta, izlazim iz busa i vidim kako nailazi i druga petica. Naravno, ona je skoro prazna za razliku od one prekrcane u kojoj sam se ja vozio. Zašto dolazi do tih oscilacija u redoslijedu vožnje, probajmo malo 'matematički' proanalizirati.
Znamo da autobusi sa početne stanice kreću svakih 10 minuta. Uzmimo da je prosječna brzina autobusa na liniji nekih 40 km/h, za deset minuta autobus u prosjeku prođe nekih 40/6 km, što je približno 6,67 km i to uzimamo kao neki prosječan razmak između dva uzastopna autobusa. Taj razmak će se smanjiti kada raniji (prvi) autobus uspori u odnosu na kasnijeg (drugog) ili kasniji (drugi) ubrza u odnosu na ranijeg (prvog). I obrnuto – povećat će se kada prvi autobus ubrza u odnosu na drugog ili drugi uspori u odnosu na prvog. U praksi se najčešće dogodi da autobus naleti na gužvu, smanji brzinu, a slijedeći autobus još neko vrijeme vozi normalnom brzinom, smanjujući pritom svoju udaljenost prema prvom autobusu. Ta udaljenost (razmak) će se smanjivati dokle god i ovaj drugi autobus ne uspori na minimalnu brzinu ( brzinu gužve).
Ukoliko i prvi i drugi autobus prođu proces usporavanja i uključivanja u gužvu na potpuno jednak način, dakle ukoliko izgube jednako mnogo vremena od usporavanja do potpunog uključenja u gužvu, i ako od potpunog usporavanja prvog autobusa do potpunog usporavanja drugog autobusa prođe točno 10 minuta, možemo reći da će vremenski razmak između njih ostati istih 10 minuta, dok će se međusobna udaljenost(kao i brzina) očito smanjiti. U praksi se ovo ne može dogoditi – recimo da je prvi autobus počeo usporavati kod točke A, jasno je da će drugi autobus, zbog daljnjeg gomilanja vozila, početi usporavati ranije, dakle proći će manje od traženih 10 minuta. Možemo li izračunati kako se taj razmak smanjuje tijekom vremena, kada će on postići svoj minimum i kolika će biti novonastala vremenska distanca među autobusima? Za tu svrhu moramo posegnuti za formulama za jednoliko (s=v x t), jednoliko usporeno(s=v x t - a/2 x t**2) i jednoliko ubrzano gibanje(s=v x t+a/2 x t**2).
Uzmimo da je prvom autobusu od početka kočenja (točka A) potrebno 2 minute da mu se brzina ustali na minimalnu (brzinu gužve). Uzmimo nadalje da nakon još 7 minuta i drugi (slijedeći) autobus počinje kočiti (prije točke A) i da mu je potrebno iste 2 minute da se ustali u gužvi. Prema gornjim formulama dobit ćemo da je razmak među autobusima u gužvi sada 2,17 km i nova vremenska distanca među njima 13 minuta.
(Ovdje se možemo još malo osvrnuti na onih 7 minuta koje smo oproizvoljno uzeli. Jesmo li mogli točnije odrediti kada i gdje će drugi autobus početi kočiti? Uzmimo da se između naša dva autobusa u prosjeku svakih 30 metara nalazi jedno vozilo, na duljinu od 6,67 km to je otprilike 222 vozila. Recimo da od momenta kočenja prvog autobusa kod točke A, svakom vozaču u prosjeku treba 2 sekunde za reakciju i početak kočenja, izlazi da će vozač drugog autobusa početi kočiti nakon otprilike 7,4 minute. Do tada su se već vozila ispred njega stisnula na prosječnih 10 metara po autu pa ispada da drugi autobus počinje kočiti otprilike 1,78 km prije točke A.)
Mi ostajemo i dalje na onih naših 7 minuta. Rekli smo da su autobusi sad u koloni sa vremenskom distancom od 13 minuta i udaljenošću od 2,17 km. Zamislimo sada da sva vozila u koloni nakon nekog vremena istovremeno ubrzavaju na 'normalnih' 40 km/h, vremenska distanca se topi i smanjuje se na 3,255 minuta. U praksi je naravno sasvim druga priča, rezoniraćemo na isti način kao maloprije kad smo se bavili sa onih 222 vozila i njihovim kočenjem. Uzmimo dakle da se gužva počinje raščišćavati, vozila počinju ubrzavati pa tako i naš prvi autobus. Znamo da je između autobusa oko 222 vozila prosječno razmaknutih 10 metara, neka je sada svakom potrebno prosječno 1 minuta za reakciju i početak ubrzavanja, ispada da nakon nekih 3,7 minuta i drugi autobus počinje ubrzavati. Ubrzanje vozila(pa tako i naših autobusa) neka sad traje 1 minutu, dobit ćemo da će se nakon normaliziranja vožnje(4,7 minuta od početka ubrzavanja prvog autobusa) razmak među autobusima povećati na 4 km, a vremenska distanca skratiti na približno 6 minuta. Time smo donekle rasvijetlili uzroke kašnjenja ili uranka autobusa na gradskim linijama.
Za kraj ćemo još odgonetnuti kako to da je druga petica naišla gotovo prazna odmah nakon one moje 'krcate' putnicima. Dok je ova prva stajala na svakoj stanici i kupila putnike, dotle je ova potonja samo 'šibala' gotovo se i ne zaustavljajući i dostizala prvu. Gotovo da mi je žao da u gornjim razmatranjima nisam 'rezonirao' na isti način :)
Vjerujem da ste se pomalo, poput mene, pogubili u ovom problemu. Ovdje se ne radi o točno definiranom problemu sa preciznim ulaznim vrijednostima i preciznim rezultatima, radi se o složenijem problemu kojega pokušavamo rastaviti na što jednostavnije dijelove. Svakom tom dijelu pristupamo na odgovarajući način, uzimamo neke prosječne ulazne vrijednosti i dobijamo neke prosječne rezultate. Pokušavamo zamisliti hoće li se naši rezultati podudarati sa stvarnim rezultatima, možemo,npr., dok se vozimo svojim automobilom u gužvi, pratiti brzinu i prijeđene kilometre i vidjeti da li se 'slažu'. U svakom slučaju, ovo je primjer problema koji se rješava teorijski i praktično!
Oznake: matematika zadatak
