Matematika za svakoga

"Kada se ovako popodne vozite tramvajom", kaže neki čovjek, "ima se utisak da u njemu ima triput više žena nego muškaraca!" Njegov suputnik spontano prebroji putnike i ustanovljava: "Vaša tvrdnja je u dlaku točna, barem što se tiče ovog tramvaja!" Tramvaj se zaustavlja na stanici, iz njega izlaze samo žene, a u nj ulaze samo muškarci i ima ih četiri puta manje u odnosu na izašle žene. "Situacija je sada podnošljivija,u tramvaju je sada samo duplo više žena nego muškaraca!", nastavlja čovjek dalje prema svom suputniku. Tramvaj vozi dalje, na slijedecoj stanici ulazi samo jedna žena. Kako nitko od putnika nema namjeru izići, predloži čovjek: "Izađimo nas dvojica ovdje van, tada će se opet uspostaviti stari omjer 3:1 u korist žena."
Koliko žena i koliko muškaraca nastavlja nakon toga vožnju tramvajom?
(Zadatak je preuzet iz knjige: "Zagonetke i mozgalice" autora Klasa Rechbergera)

Rješenje:
Ja se u ovakvim zadacima obično hvatam za nešto konkretno, u našem slučaju to imamo na kraju zadatka: jedna žena je ušla, a dva muškarca su izašla. Također znamo da je nakon prve stanice odnos žena i muškaraca bio 2:1. Označimo ih stoga sa 2x i x.Na posljednjoj stanici situacija se mijenja i možemo je izraziti jednadžbom: (2x + 1) = 3(x-2). Iz ovoga slijedi: x = 7 i zaključujemo da je put nastavilo 15 (2 × 7 + 1) žena i 5 (7 - 2) muškaraca.
Možemo se vratiti i nazad pa dobijemo da smo nakon prve stanice imali 14 (2×7) žena i 7 muškaraca. Početnu situaciju dobijamo ovako: Neka je na prvoj stanici 4y žena izašlo, a y muškaraca ušlo, sad znamo da je ostalo 14 žena i 7 muškaraca. Prema ovome slijedi da je na početku bilo (14 + 4y) žena i (7 - y) muškaraca, a znamo da je njihov odnos bio 3 : 1. Izrazimo to jednadžbom 14 + 4y = 3(7 - y), iz čega slijedi y=1 i početno stanje 18 žena i 6 muškaraca.

Ovaj zadatak mogli smo riješiti i krenuvši od početka. Mogli smo stanje na početku prikazati kao 3x žena i x muškaraca. Na prvoj stanici morali bismo unijeti novu varijablu y i njome bismo označili broj muškaraca koji su ušli (y) i broj žena koje su izašle (4y).
Ispunjavajući dalje uvjete zadatka došli bismo do novog stanja: (3x - 4y) žena i (x + y) muškaraca. Na isti način dobijemo zaključno stanje (3x - 4y + 1) žena i (x + y -2) muškarca, za koje ponovo vrijedi odnos 3:1. Iz jednadžbe 3x - 4y + 1= 3(x + y - 2) nakon poništavanja x dobijemo y = 1. Vratimo se na stanje nakon prve stanice i dobijemo (3x - 4) žena i (x + 1) muškaraca, za koje vrijedi odnos (3x - 4) = 2 (x + 1) iz čega slijedi x = 6 i zadatak je riješen.

Kao što vidite, drugi način dosta je kompliciraniji i nejasniji i možemo reći da je riješen "bez upaljene sijalice u glavi"!

Oznake: tramvaj, putnici

Ovaj zadatak predstavljen je učenicima prvih razreda osnovne škole, kao i maturantima, studentima i profesorima matematike. I dok su matematičari satima tražili rješenje, prvašićima je za rješenje trebalo nekoliko minuta!

56784=4
11111=0
72348=3
88652=5

88811=6
75213=0
65465=3
62257=?

Koji broj dolazi na mjesto upitnika?
(Pomoć: Prepišite zadatak na papir i činite to polako, možda vam sine rješenje!)

Rješenje:
Neki brojevi nekim svojim dijelovima obrazuju zatvorene (oivičene) površine. Npr. Broj 6 ima jednu takvu površinu, broj 8 dvije, dok npr. broj 3 nema niti jednu. Pobrojimo li ukupan broj takvih površina u brojevima s lijeve strane jednakosti, dobit ćemo broj zdesna. Rješenje je stoga 1.

Evo jednog teškog zadatka, izdvojite malo vremena i pokušajte ga riješiti samostalno.

Neki čovjek nalazi se u robnoj kući. Prilazi pokretnim stepenicama(elevatoru) i pada mu napamet da ih izbroji, ali to je neizvedivo jer su one stalno u pokretu. Stoga ih prvo broji dok se jednolikim tempom uspinje nasuprot njima i pri tome izbroji 90 stepenica. Potom se istim tempom spušta nazad, dakle sada u istom smjeru kao i stepenice i pritom izbroji samo 60 stepenica. Koliko stepenica će čovjek izbrojiti u slučaju da prolazi elevatorom koji miruje?

(Pomoć: rješenje je 72 stepenice).

Rješenje:
Polazimo od formule s=v * t, gdje je v konstantna brzina, s je put, a t vrijeme potrebno da se prijeđe taj put pri toj brzini. U našem slučaju put je duljina elevatora. Uzmimo da se čovjek kreće brzinom v1, a elevator brzinom v2. Naravno da v1 > v2, jer čovjek inače ne bi mogao napredovati protiv elevatora. Što se tiče trajanja uspona i silaska, mozemo reći da uspon traje 90 vremenskih jedinica, a silazak 60. Duljina elevatora nije nam bitna, a nisu nam bitne ni brzine čovjeka i elevatora. Te varijable medjusobno su proporcionalne, što se lako pokazuje ako krenemo sa dvije jednadzbe:
put=(v1+v2)*60 i
put=(v1-v2)*90.
Iz ovoga dobivamo v1=put/72 i v2= put/36. Sada jos tražimo koliko vremenskih jedinica( isto nije bitno kojih) treba čovjeku da prođe elevator dok je nepokretan, dakle trazimo t iz jednadzbe put=v1*t => put = put/72 * t, iz cega slijedi t=72. Kako smo t poistovjetili sa brojem stepenica, ispada da elevator ima 72 stepenice.

Oznake: matematika zadatak