Matematika za svakoga

Zbog velike hladnoće bilo je odlučeno da se na jednom stražarskom mjestu stražari, počevši od 12 sati u podne, pa do 12 sati u ponoć smjenjuju svakog sata. Za to je bilo određeno 12 vojnika, ali se zgodilo da se jedan od njih iznenada razbolio, pa je riješeno da svaki od ostalih bude na straži po 1/11 sata više.
- Ali tko će izračunati kada točno treba koga od njih izvesti na stražarsko mjesto? – primijetio je na to dežurni u četi.
- Za to je dovoljno samo da pratiš kretanje kazaljki na satu – odgovorio mu je na to njegov drug matematičar, kojeg su u četi zvali Iks.
Odgovorite: na što je Iks mislio kad je rekao 'za to je dovoljno samo da pratiš kretanje kazaljki na satu' ?
(Zadatak je preuzet iz časopisa 'Matematički list za učenike osnovne škole' u u izdanju 'Društva matematičara SR Srbije', broj 4, 1986. godina, Beograd )

Prva ideja koja mi je pala na pamet bila je da pratim poklapanje male i velike kazaljke i da pokušam odrediti kada se to događa tijekom 12 sati. Prvi puta se to dogodi na samom početku, dakle točno u podne. Drugi puta nešto poslije 13 sati i 5 minuta. Zatim nešto poslije 14 i 10 i tako sve do nešto prije 23 sata. Možemo pobrojati da će se to dogoditi 11 puta, a možemo rezonirati i ovako: do poklapanja dolazi između bilo koja dva susjedna sata jedanput, jedino u vremenu od 11 do 1 sat to se događa samo jednom (u dvanaest sati), dakle imamo 11 poklapanja. Ako pokažemo da su poklapanja periodična, tj. da su razdoblja između poklapanja jednakog trajanja, onda ćemo vojnike moći rasporediti na taj način.

Tražimo prvo vrijeme poklapanja nakon podneva. Riješavamo problem najčešće korištenim načinom – preko brzina kazaljki. Znamo da se velika kazaljka kreće 12 puta brže od male, jer velika opiše puni krug za 1 sat, a mala za 12 sati. Ako kazaljke krenu sa iste pozicije, a znamo da u podne krenu, i uzmemo li da velika kazaljka za neko vrijeme prođe m minutnih podjeljaka, tada mala kazaljka prođe m/12 minutnih podjeljaka pa razlika u minutnim podjeljcima između dvije kazaljke iznosi 11/12 * m. Dakle, u trenutku kada se kazaljke opet preklope, razlika je 60 minuta (podjeljaka) pa imamo 11/12 * m = 60, iz čega slijedi m=65 i 5/11min = 60 + 5 5/11 min. To znači da svaki put nakon preklapanja kazaljki do novog preklapanja treba čekati 1 sat i 5 5/11 min. Primijenimo li to na naš početni zadatak, počevši od prvog vojnika u podne, preko drugog u 1 i 5 5/11 min, trećeg u 2 i 1010/11 min pa sve do jedanaestog u 10 sati i 54 6/11 minuta, svaki od njih biti će jednako dugo vremena na straži (1 sat i 5 5/11 min). Time smo riješili zadatak.
Koristeći prethodna rasuđivanja, pokušajte riješiti i ovaj zadatak, također iz istog časopisa:
Nekoliko minuta poslije 12 sati jedan učenik počeo je raditi domaći zadatak i u tom momentu je pogledao na sat. Kad je završio ponovo je pogledao na sat i utvrdio da su kazaljke međusobno zamijenile mjesta. Možemo li utvrditi koliko je dugo učenik rješavao zadatak, kada je počeo i kada je završio s njim? (Rješenje glasi: počeo je s rješavanjem u 12 sati i 5 5/143 minuta, a završio u 13 sati i 60/143 minuta.)

Oznake: matematika, zadaci

Logika vam dobro funkcionira i može se reći da ste dobar matematičar. Koliko ste brzi u računanju? Jeste li ikad poželjeli da možete računati brže, da ne morate baš svaki put u glavi prolaziti zamorne operacije zbrajanja i množenja?
Čuli ste za ljude koji bez problema pomnože dvadesetznamenkaste brojeve, vade 30-te korijene iz 50-znamenkastih brojeva, dok s druge strane nisu u stanju riješiti najednostavnije logičke probleme? Ako već znanost još uvijek ne može objasniti kako oni to postižu, postoje li bar neke metode i vještine pomoću kojih možemo ubrzati ovo naše računanje 'u glavi' ?
Ovakva pitanja odvela su me do pojma 'vedske matematike'. Dosta se piše o njoj zadnjih godina, uglavnom senzacionalistički, no zavirivši malo u dostupne materijale uvidio sam da se u njima ne radi o ničem revolucionarnom, već o lako dokazivim matematičkim tvrdnjama. Dakle, nisam se uspio uvjeriti u 'nadmoć' vedske matematike u odnosu prema našoj 'europskoj' matematici.
Pretražujući internet dalje, naišao sam na soroban, drevnu japansku računaljku na kojoj japanska djeca čine prve matematičke korake. Ovaj abakus izgleda jednostavnije od računaljki kakve naša djeca koriste, no zahvaljujući njemu, možemo uvježbati mozak da zbraja i množi poput najbržeg računala! Znam da ovo zvuči fantastično, no istinito je i vrijedi vremena malo zaviriti u rukovanje ovom simpatičnom spravicom. U Japanu, Kini, Koreji itd.djeca se malo pomalo privikavaju na ovu spravicu i jednostavne matematičke operacije na njoj. Kako djeca u toj dobi više uče vizualno i taktilno, a spravica je, poput većine dječjih igračaka, konstruirana na taj način, tako se u njih i pojam broja poistovjećuje sa brojem pločica na sorobanu. Dakle, operacije zbrajanja, oduzimanja, a naknadno i množenja i dijeljenja, u mozgu djeteta vizualno se predočuju i možemo reći da se djeca 'igraju' s njima. Rezultat je da mladi Japanci neće brojeve zbrajati na papiru, već na sorobanu, u početku pravom, a naknadno na onom zamišljenom u glavi.
Koje su blagodati svega toga? Je li poanta u tome da se djeca ne muče previše na satovima matematike? Prema dosadašnjim saznanjima i istraživanjima, rad na sorobanu (kao i na ostalim sličnim abakusima) pored toga što stimulira lijevu stranu mozga 'zaduženu' za logiku, organizaciju, racionalnost itd, stimulira i desnu stranu ( kreativnost, intuicija, mašta, lucidnost,...), dakle razvija one kvalitete koje krase umjetnike, izumitelje i općenito kreativce. Soroban olakšava memoriranje, organizaciju i integraciju informacija i pospješuje ostvarivanje intelektualnih i svakojakih potencijala kod učenika i studenata.
Za kraj bih vam preporučio sjajan dokumentarac na Youtube-u: https://www.youtube.com/watch?v=WBPTwubFdIw

Oznake: soroban