Vjerojatno ste čuli za teorem o beskonačno mnogo prim brojeva koji je na vrlo elegantan način dokazao još Euklid. Poput Euklida i danas ovu tvrdnju najčešće dokazuju kontradikcijom. Na seminaru Fakulteta elektrotehnike i računarstva pri Sveučilištu u Zagrebu, kod voditelja prof. dr. sc. Nevena Elezovića, dokaz ide ovako: 'Pretpostavimo da ima konačno mnogo prostih brojeva, i to n njih. Promatrajmo broj 2 x 3 x 5 x 7 x...x pn + 1. On je veći od svakog prostog broja i kao takav ne može biti prost. Nije djeljiv ni sa jednim prostim brojem (pri dijeljenju uvijek ostane ostatak 1). Ovo znači da i taj broj mora biti prost, čime se dobiva kontradikcija.'
U knjizi 'Riješeni zadaci iz više matematike', autora dr. Vladimira Devidea, dokaz ide ovako:
'Očito je dovoljno pokazati da nema najvećeg primbroja, tj. da, kako god velik bio primbroj p, postoji primbroj q koji je veči od p.
Neka je dakle p neki – kako god hoćemo velik – odabrani primbroj. Pogledajmo broj P=p! + 1. P očito nije djeljiv ni jednim primbrojem manjim ili jednakim p ( jer dijeljenje od P takvim primbrojem uvijek daje ostatak 1). Znači, ili je P sam primbroj – koji je tada sigurno veći od p – ili je P djeljiv nekim primbrojem q većim od p – što opet povlači da p nije najveći primbroj. Time je sve dokazano.'
Zanimljivo je da se ovaj drugi dokaz ne bazira na kontradikciji. Uzme se po volji velik prim broj p i uviđamo da možemo uvijek pronaći veći (p! + 1). Ovakvo dokazivanje zadovoljava strogost matematičkog dokazivanja, a opet je nekako intuitivnije i jasnije. Može li se kontradikcija 'svesti' na ovaj način i kod drugih takvih dokaza, vidjet ćemo u nekim od narednih postova.
Oznake: matematika
