Dvije jednako spretne osobe(ili momčadi), A,B, takmiče se u jednoj igri tako da ona osoba koja dobije igru bilježi jedan bod, a ona koja gubi nula bodova. Okladu ( nagradu i sl.) dobiva ona osoba(momčad) koja prva postigne šest bodova. Ako je igra prekinuta u trenutku kad je A imao pet bodova, a B dva boda, kako bi trebalo pravedno podijeliti nagradu između A i B?( Zadatak je preuzet iz knjige 'Matematika za četvrti razred gimnazije', Kurepa, Smolec, Škreblin, Zagreb, 1974.)
Sličan primjer prvi je zapisao talijanski matematičar Luca Paciuolo ( 15. st.), prijatelj Leonarda da Vincija, i to u matematičkom djelu 'Summa' (Venecija, 1494).
Ovaj zadatak kroz povijest se pokušavao riješiti na različite načine. Gore spomenuti matematičar Paciuolo mislio je da nagradu treba podijeliti u omjeru postignutih bodova, dakle u omjeru 5:2, što je, priznajem, i meni prvo palo na pamet. Kako sam ipak bio upućen da postoji novije, danas općeprihvaćeno rješenje, pokušao sam zadatak pogledati s nekog drugog gledišta. Zato sam obratio pažnju na moguće krajnje rezultate nakon rezultata 5:2. Igrač A pobjeđuje pri rezultatima 6:2, 6:3, 6:4 i 6:5, dok igrač B pobjeđuje samo kod rezultata 5:6. U skladu s tim podijelio sam omjere na 4:1. Donekle ozaren, bacio sam oko na rješenje talijanskog matematičara Cardana koji je podijelio nagradu u omjeru 10:1. Pascal i Fermat čije rješenje i danas koristimo podijelili su nagradu 15:1.
Tada sam naletio na rečenice u tekstu nakon Paciuolovog rješenja: 'Pomislite i na to što bi bilo da je takmičenje potrajalo još onoliko koliko traje jedna igra. Što bi bilo da je A dobio i taj bod?' Kako poznajem osnove teorije vjerojatnosti, rezonirao sam da je šansa da A pobijedi slijedeću igru 1/2 ili 0.5. Šansa da je A slijedeću igru izgubio, a onda onu narednu dobio jest 1/2 x 1/2 = 1/4 . Zapisat ćemo ovu shemu kao BA. Također je A mogao pobijediti tek u trećoj partiji (BBA), šansa je ovdje 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8 . I posljednja, najdulja varijanta je pobjeda A tek u četvrtoj partiji (rezultat 6:5), ovdje je vjerojatnost 1/16. Ukupna dakle vjerojatnost da A pobjeđuje je zbroj svih ovih vjerojatnosti, a to je 15/16 . Što se tiče igrača B, on pobjeđuje samo u sličaju da dobije sve četiri naredne partije (BBBB), vjerojatnost za to je 1/16. Prema ovome navedenome, nagrada se treba dijeliti u omjeru 15:1 u korist igrača A.
Ovaj rezultat u skladu je sa rješenjem Pascala i Fermata, no njihovo rezoniranje ipak je teklo drugačije. Oni su pošli od toga da igra može potrajati najviše četiri partije, potom su se zapitali što se sve može dogoditi u te četiri partije i sve slučajeve prikazali kao nizove, npr. BBBB ( B dobija sve četiri partije), ali i AAAB ( ovdje je A pobijedio već u prvoj, daljnje partije nisu važne, ali se ipak broji koliko ih može biti) itd. Ukupno ovih nizova ima 2 x 2 x 2 x 2 = 16, a samo u jednom slučaju nagradu dobiva B. Nagrada se dakle dijeli 15:1.
Vidimo dakle da se matematičkim problemima može pristupiti na različite načine. Rekli smo da je Pascal-Fermatovo rješenje najbolje, a kao dokaz valjanosti koristi se statistička provjera na velikom broju uzoraka. Općenito možemo smatrati teoriju vjerojatnosti i statistiku kao lonac i poklopac, lonac bez poklopca ne valja, a poklopac bez lonca ne postoji.
Oznake: matematika
