Zadatak:
Na šahovskom turniru sudjelovali su samo majstori i velemajstori. Svaki šahist je točno polovicu svojih bodova osvojio u partijama s majstorima. Dokazati da je broj šahista na tom turniru potpun kvadrat.(Zadatak je preuzet iz knjižice 'Najteži zadaci' iz serije 'Matematika u džepu', a u izdanju 'Tehničke knjige', Beograd)
Da se prisjetimo bodovanja šahovskih partija: partija može završiti pobjedom jednog igrača, pri čemu pobjednik dobija jedan bod, a poraženi nula bodova, a može i završiti remijem, pri čemu oba igrača dijele pola boda. Ukupno je dakle u jednoj partiji osvojen jedan bod.
Mi ne možemo znati koliko će koji pojedinac osvojiti bodova, znamo samo da će pola ukupnih bodova osvojiti u partijama s majstorima.
Probajmo zato promatrati bodove po 'grupama', tu bismo već mogli nešto zaključiti. Pri tom mislim na to da majstore promatram posebno i velemajstore posebno.
Uzmimo da je na turniru bilo m majstora i n-m velemajstora, gdje je n ukupan broj šahista. Po uvjetu zadatka, majstori su( kao i velemajstori) polovicu svojih bodova osvojili u partijama sa majstorima, dakle međusobno. Ovdje su osvojili mx(m-1)/2 bodova, a isto toliko osvojili su i u borbi sa velemajstorima. Slično zaključujemo da su velemajstori jednaki broj bodova osvojili u borbi s majstorima kao i međusobno, dakle (n-m)x(n-m-1)/2 bodova. U međusobnim partijama majstori i velemajstori osvojili su nx(n-m) bodova jer je toliko bilo partija pa dobivamo jednakost:
m x(m-1)/2 + (n-m) x(n-m-1)/2 = n x (n-m). Oduvuda dobijamo: (2m- n) = n**2, što je i trebalo dokazati.
Mogli smo i ovako rezonirati:
Uzmimo da imamo m majstora i v velemajstora. Promatramo li bilo kojeg majstora, on je polovinu svojih poena osvojio u partijama sa velemajstorima, dakle u susretima majstori-velemajstori. Uzmemo li nekog velemajstora, on je polovicu poena osvojio također u tim partijama. Izlazi da je pola ukupnih poena osvojeno u tim partijama kojih je bilo m x v. Ukupan broj osvojenih bodova na turniru jest nx(n-1)/2 = (m+v)x(m+v-1)/2 pa imamo jednakost: 2 m x v = (m+v)x(m+v-1)/2, iz čega dobijemo n = (m – v)**2, što je i trebalo dokazati.
Oznake: matematika, zadaci
