ZADATAK:
Dvije seljanke donijele su na tržnicu ukupno 100 jaja, jedna više nego druga i obje su za prodana jaja dobile iste svote. Prva reče drugoj: 'Kada bih imala toliko jaja koliko ti, dobila bih za njih 15 krajcara'. Druga joj odgovori: ' A kada bih ja imala toliko jaja koliko ti, dobila bih za njih 6 2/3 krajcara'. Koliko je jaja imala svaka od njih?
(Zadatak je preuzet iz časopisa za mlade matematičare 'Matka' –br.7, ožujak 1994, inače se radi o zadatku koji je Stendhal naveo u svojoj autobiografiji o godinama svojeg školovanja, a o čemu je napisao slijedeće: 'U njega sam našao(Eulerov udžbenik Uvod u algebru) zadatak o broju jaja koje je seljanka nosila na tržnicu da ih proda... Taj je zadatak za mene pravo otkriće. Shvatio sam što znači koristiti oruđe koje se zove algebra. Vrag da me nosi, ali o tome mi nitko dosad nije govorio...')
Ovaj zadatak mogli bismo početi rješavati na ovaj način:
Uzmimo da prva seljanka ima n jaja, a druga 100-n jaja. Neka je prva seljanka prodavala jaja po cijeni c1, a druga po cijeni c2 krajcara. Obje su dobile iste svote novca pa vrijedi:
n× c1=(100-n) × c2. Kada bi seljanke zamijenile broj jaja, a zadržale istu cijenu, vrijedilo bi:
n× c2=15 i (100-n) × c1=62/3=20/3. Ovime smo dobili sustav od tri jednadžbe sa tri nepoznanice, koji, prikazujući c1 i c2 preko n, svodimo na kvadratnu jednadžbu n**2-360n+18000=0 koja nema cjelobrojno rješenje.
Očito smo odveli zadatak u neželjenom smjeru.
Za uspješno rješavanje ovog zadatka potrebno je krenuti na sličan način kao i maloprije. Znamo da su seljanke dobile iste svote novca pa vrijedi n× c1=(100-n) × c2. Ovdje nam sad upada u oči omjer, jer transformacijom jednadžbe dobivamo izraz c1/c2=(100-n)/n=k, koji možemo interpretirati kao omjer cijena, ali i kao omjer broja jaja. Nadalje rezoniramo: ako je prva seljanka imala k puta više jaja od druge, očito je morala prodavati jaja po k puta nižoj cijeni od druge da bi obje jednako zaradile. ( Pritom je zanimljivo da nam izraz 100-n zasad ne igra puno, omjer jaja možemo dobiti i bez njega! )
Sada zaključujemo dalje: ako prva seljanka koja ima k puta više jaja prodaje jaja po cijeni druge seljanke koja je k puta veća od njezine, izlazi da će ona zaraditi k×k=k˛ puta više od druge seljanke. Dakle imamo: k**2=15: 62/3=9/4, iz čega slijedi k=3/2. Vidimo da je prva seljanka imala 3/2 puta više jaja od druge, što bi na jeziku omjera značilo da su jaja među njima bila podijeljena u omjeru 3:2. I tek sada ona brojka od 100 jaja dobiva ulogu, zaključujemo da prva seljanka ima 60, a druga 40 jaja.
I to je to, vidimo da je glavno polazište za rješavanje ovog zadatka bilo uočavanje omjera.
Oznake: matematika, zadaci
