POJAM KONGRUENCIJE
Pa samo ukratko, reda radi, osvrnimo se načas na ovaj matematički pojam kongruencije. Ne možemo ovdje naročito razglabati ovaj problem, jer nismo vični matematičkim raspravama, ali možemo reći da se ovaj pojam kongruencije pojavljuje u matematici i kao brojevne kongruencije pa onda se govori i o kongruenciji cijelih brojeva, o odnosu kongruencije i kriptografije, govori se također o modularnoj aritmetici i njenoj kongruenciji koji problem je uveo Gauss, govori se onda o linearnim kongruencijama itd. Međutim postoji i geometrijski pojam kongruencije pa se tako govori o kongruenciji trokuta u euklidskom prostoru, o kongruenciji u sferičkoj i hiperboličkoj geometriji, o kongruenciji u analitičkoj geometriji. Ovim se problemom kongruencije naročito bavio Hilbert i pri tom imamo na umu dva njegova rada: prvi „Foundation of geometry“ iz 1899. i drugi „Geometry and imagination“ koja čini zbirku od serije predavanja iz godine 1920.-1921. U ovoj knjizi „Foundation of geometry“ njen prevoditelj na engleski jezik E. J. Townsend s Illinois univerziteta je zapisao u Uvodu:
As a basis for the analysis of our intuition of space, Professor Hilbert commences his discussion by considering three systems of things which he calls points, straight lines, and planes, and sets up a system of axioms connecting these elements in their mutual relations. The purpose of his investigations is to discuss systematically the relations of these axioms to one another and also the bearing of each upon the logical development of euclidean geometry. Among the important results obtained, the following are worthy of special mention:
1) The mutual independence and also the compatibility of the given system of axioms is fully discussed by the aid of various new systems of geometry which are introduced.
2) The most important propositions of euclidean geometry are demonstrated in such a manner as to show precisely what axioms underlie and make possible the demonstration.
3) The axioms of congruence are introduced and made the basis of the defifinition of geometric displacement.
4) The signifificance of several of the most important axioms and theorems in the development of the euclidean geometry is clearly shown; for example, it is shown that the whole of the euclidean geometry may be developed without the use of the axiom of continuity; the signifificance of Desargues’s theorem, as a condition that a given plane geometry may be regarded as a part of a geometry of space, is made apparent, etc.
5) A variety of algebras of segments are introduced in accordance with the laws of arithmetic.
A što se knjige „Geometry nad Imagination“ tiče ovdje ćemo samo navesti da se Hilbert poduhvatio problema kongruencije u odjeljku gdje raspravlja (u paragrafu 34) eliptičku geometriju i odnos hiperboličke geometrije u njenoj relaciji prema eliptičkoj i euklidskoj pa onda zapisuje oko aksiona kongruencije:
Ill. Axioms of CONGRUENCE
1) On a straight line a given segment can be laid off on either side of a given point; the segment thus constructed is called congruent to the given segment.
2) If two segments are congruent to a third segment, then they are congruent to each other.
3) If AB and A' B' are two congruent segments and if the points C and C' lying on AB and A' B' respectively are such that one of the segments into which AB is divided by C is congruent to one of the segments into which A'B' is divided by C', then the other segment of AB is also congruent to the other segment of A' B'.
4) A given angle can be laid off in one and only :one way on either side of a given half-line; the angle thus drawn is called congruent to the given angle.
5) If two sides of a given triangle are equal respectively to two sides of another triangle, and if the included angles are equal, the triangles are congruent.
Nema nikakve sumnje da je ovaj pojam geometrijske kongruencije važno teoretsko pitanje kojeg sada ne želimo naročito raspravljati. Mi smo samo naglasili da se i u estetičkim našim pitanjima možemo orijentirati s obzirom na pitanja odraza i na ovaj pojam kongruencije, slaganja zbiljskog svijeta i svijeta literarnog djela.
Htio sam samo nadodati, da je dimenzionalnost fizikalnog prostora unutrašnje svojstvo kozmosa i nije stvar izbora. Sve naše fizikalno iskustvo pokazuje da je prostor trodimenzionalan i da prema tome treba biti reprezentiran trodimenzionalnom geometrijom. Kozmos bi bio sasvim drugačije smjestište, ako bi prostor imao različiti broj dimenzija. Nemoguće je na primjer navući lijevu rukavicu na desnu ruku pa da ona savršeno pristaje čak i ako su obje ruke i obje rukavice kongruentne tj. da su od najveće preciznosti iste veličine i istog oblika. Međutim, ako bi prostor imao četiri dimenzije bilo bi moguće navući sasvim uspješno lijevu rukavicu na desnu ruku i obrnuto jednostavnim rotiranjem rukavice u četvrtoj dimenziji. Ovaj primjer pokazuje, da se sva čvrsta tijela koja su kongruentna ne mogu dovesti do podudaranja.
Ovakva restrikcija na ono što je i ono što nije geometrijski moguće u prirodnom svijetu ima dalekosežne posljedice. Čuveni francuski znanstvenik Louis Pasteur prvi je pokazao, da je jedina razlika između tartarske i paratartarske kiseline koje su istog kemijskog sastava u tome da je prostorni razmještaj atoma u njihovim molekulama kongruentan, ali ne i podudaran: njihove molekule su jedna drugoj zrcalne slike.
