VaR - metode i primjer
Uvod
Objavljujem primjer korištenja nekoliko metoda za izračun VaR-a za portfolio vrijednosnih papira. Ovaj je primjer obrađen na radionici seminara seminara Kvantitativne metode u upravljanju rizicima, koji je održan 10. i 11. ožujka 2009 u organizaciji Hrvatskog instituta za bankarstvo i osiguranje.
Cilj primjera je pokazati izračun VaR-a portfolia dionica korištenjem:
1. historijske metode,
2. analitičke metode i
3. monte-Carlo metode.
Zadnji dio primjera pokazuje izračun VaR a za portfolio dionice i njezine put opcije. Kupnjom put opcije postižemo zaštitu u slučaju pada cijene dionice (downside protection). Ako kupimo broj opcija u skladu sa delta-evkivalntom, dodatno ćemo smanjiti VaR cijelog portfolia.
Primjer u Excelu možete preuzeti ovdje. Na učitanoj stranici odaberite dokument (HIBO) 6 Rizična vrijednost - radionica.xlsx, spremite pomću opcije Save As i modificirajte datoteku po želji.
U nastavku slijedi kratak komentar izračuna (bez ulaženja u teoretska objašnjenja).
Historijski VaR
U prvom listu (Podaci) priložene Excel datoteke nalaze se podaci o tjednom kretanju cijena šest dionica kroz petogodišnje razdoblje. Kako su za izračun VaR-a bitni povrati (returns), u istom listu izračunati su tjedni povrati.
Drugi list (Historijski VaR) sadrži izračun VaR-a za portfolio koji se sastoji od ovih šest dionica u različitim udjelima (B6:G6). Kod historijske metode VaR izračunavamo na način da za postojeći portfolio (sa definiranim udjelima) izračunamo povrate na portfolio na svaki datum u prošlosti, za koji posjedujemo podatke o povratima pojedinih dionica u sastavu portfelja. Povrat portfolia je jednostavno izračunati kao linearnu kombinaciju udjela u dionicu i povrata na tu dionicu.
Temeljem izračunatih (i pretpostavljenih) vrijednosti portfolia u prošlosti, možemo korištenjem Excel funkcije =PERCENTILE(portfolio_returns;confidence_level) dobiti VaR. Inputi su portfolio_returns odnosno povrati na portfolio u prošlosti te confidence_level (npr. 1%) kojim određujemo razinu pouzdanosti rezultata. Tako dobiveni VaR nam govori da je vjerojatnost da se pojavi povrat manji od izračunatog jednaka 1%.
Napomene: ako imamo cijene dionica (odnosno povrate) na tjednoj razini, onda će i izračunati VaR također vrijediti za jedan tjedan unaprijed. Također, za neke dionice možda i nećemo imati podatke (jer se npr. tijekom perioda evaluacije s njima nije niti trgovalo).
Analitički VaR
Treći list (Analitički VaR) izračunava VaR portfolia sa istim udjelima kao i u slučaju Historijskog VaR-a. No, za razliku od historijske metode, analitička metoda izračuna VaR-a pretpostavlja da su povrati NORMALNO distribuirani (može se koristiti i bilo koja druga distribucija). Postupak izračuna je slijedeći:
1. Iz povijesnih podataka izračuna se matrica kovarijanci
2. Izračunati varijancu portfolia temeljem vektora udjela i matrice kovarijanci
3. Izračunati standardnu devijaciju povrata portfolia
4. Izračunati VaR
U nastavku opis svakog koraka:
1. Iz povijesnih podataka izračuna se matrica kovarijanci
Matrica kovarijanci opisuje varijabilnost povrata pojedinih dionica (varijanca) te istosmjernost kretanja povrata između svakog para dionica (kovarijanca) -> npr. između dionica A i B, B i C itd. Varijance povrata na dionice nalazi se na dijagonali matrice, dok se u ostalim poljima nalaze kovarijance. Npr. u prvom retku i drugom stupcu matrice nalazi se kovarijanca između dionice A i dionice B. Isti broj nalazi se i u drugom retku i prvom stupcu. Matrica kovarijanci ima onoliko redova i stupaca koliko je dionica u portfoliu. Matrica kovarijanci je stoga uvijek kvadratna i simetrična.
Elemente matrice kovarijanci možemo izračunati vrlo jednostavno. Na diagonalama upisujemo formulu =VAR(stock_X_returns), gdje je VAR formula za varijancu povrata neke dionice, dok su stock_X_returns povrati na tu dionicu u promatranom povijesnom razdoblju. U ostale elemente matrice upisujemo formulu =COVAR(stock_A_returns;stock_B_returns) gdje su argumenti povrati dionice A i B za koje izračunavamo kovarijancu.
2. Izračunati varijancu portfolia temeljem vektora udjela i matrice kovarijanci
Varijancu povrata portfolia dionica možemo jednostavno izračunati množenjem transponiranog vektora udjela, matrice kovarijanci i vektora udjela. U Excelu upisujemo slijedeću formulu: =MMULT(MMULT(returns_vector_transposed; covariance_matrix); returns_vector). Nakon upisa formule u polje potrebno je pritisnuti Ctrl+Shift+Enter (vidi Excel help za rad sa matricama).
3. Izračunati standardnu devijaciju povrata portfolia
Korijenom izračunate varijance povrata u prethodnoj točki dobivamo standardnu devijaciju povrata portfolia.
4. Izračunati VaR
VaR dobivamo kao onaj minimalni povrat ispod kojeg su povrati vjerojatni sa npr. 1%. Pod pretpostavkom normalne distribucije ta je vrijednost jednaka 2,33 standardne devijacije dobivene iz točke 3. Broj 2,33 dobivamo pomoću Excel funkcije =NORMSINV(1%).
VaR dobiven historijskom metodom i analitičkom metodom trebao bi biti od prilike isti ako su historijski povrati normalno distribuirani. VaR dobiven analitičkom metodom je nešto manji od VaR-a dobivenog historijskom metodom, što bi impliciralo da je distribucija povrata nagnuta ulijevo ili spljoštena sa debelim rubovima. Koeficijenti iskrivljenosti (SKEW) i spljoštenosti (KURT) pokazuju da je distribucija realnih povrata nešto uža od normalne (KURT<3), ali je nagnuta ulijevo (SKEW<0), što znači da je vjerojatnost negativnih povrata veća (leverage effect).
Monte-Carlo VaR
Četvrti list Excel tablice sadrži izračun VaR-a pomoću Monte-Carlo metode. Ovom metodom VaR se izračunava pomoću simulacije na način da se simuliraju povrati na pojedine dionice, temeljem kojih se onda izračunavaju povrati portfolia (kao linearna kombinacija simuliranih povrata dionica i udjela dionica u portfoliu). Nakon što smo dobili veliki broj simuliranih povrata portfolia, VaR možemo dobiti na isti način kao i kod historijske metode, odnosno pomoću Excel funkcije =PERCENTILE(simulated_returns;confidence_level).
Monte-Carlo metoda stoga je pogodna ako je portfolio nelinearna funkcija faktora rizika (u ovom slučaju faktori rizika su cijene dionica), odnosno ako npr. u portfoliu imamo jednu opciju). Kombinacija sa opcijom analizirana je u slijedećem primjeru.
Najveći izazov je kako dobiti simulirane povrate dionica koji su međusobno korelirani. To možemo napraviti pomoću tzv. Choleski-jeve dekompozicije matrice kovarijanci. Matricu kovarijanci izračunali smo kod analitičke metode. Simulirani povrati dobivaju se tako da se donja dekomponirana matrica dobivena Choleskijevom metodom (L) množi sa vektorom normalno distribuiranih i nezavisnih varijabli. Opis Choleskijeve metode moguće je naći ovdje.
Normalno distribuiranu varijablu možemo simulirati pomoću funckije =NORMSINV(RAND()).
Nakon što smo dobili simulirane i korelirane povrate dionica, računamo povrate portfolia za svaku simuliranu kombinaciju povrata pojedinih dionica. VaR dobivamo kako je i gore opisano, pomoću funkcije percentile.
Monte-Carlo VaR opcije i dionice
Na petom listu napravljen je izračun VaR-a za dionicu i put opciju na tu dionicu. Omjer dionica i opcija je neutralan s obzirom na deltu opcije u trenutku kupnje opcije.
Cilj ove kombinacije je dvojak:
1. Zaštititi dionicu (umjesto dionice mogao se koristiti i neki portfelj) od pada cijene
2. Smanjiti rizik, odnosno varijancu
Cijena zaštite i smanjenja rizika jest premija koju plaćamo na opciju.
Trenutna cijena dionice je 150, a kupujemo onoliko put opcija koliko pokazuje delta ekvivalent prema Black-Scholes modelu. Strike opcije je 145. Odabiremo ovaj strike jer je put opcija jeftinija nego za strike 150, ali dobivamo manju zaštitu. Opciju sklapamo na 3 mjeseca.
VaR evaluiramo nakon 1,5 mjeseci, kada je cijena dionice pala na 140, a volatilnost porasla sa 25% na 30%. Simulacija pokazuje slijedeće:
1. VaR kombinacije dionice i opcije je -4,17 USD, dok je VaR dionice (bez opcije) jednak -13,27 (tj. bitno veći) - odnosno smanjili smo VaR odnosno rizik. VaR smo smanjili samo time što smo uzeli broj opcija prema delta ekvivalentu. Svaki drugi omjer bio bi manje optimalan.
2. Vrijednost portfolia je jednaka kao i prije pada (tj. negdje 142) - odnosno dobili smo downside protection - sve to za cijenu jednaku premiji put opcije.
Simulirane povrate u stupcu A/B mogli smo zamijeniti stvarnim povratima. Stupac C sadrži simulirane promjene cijene dionice (shodno povratima) u odnosu na cijenu u T1. Promjena cijene opcije izračunata je korištenjem delta i gama koeficijenta te Taylorove aproksimacije. Simulirane promjene portfolia u trenutku T1 dobivaju se tako da se zbroje promjena dionice i promjena cijene opcije, ali pomnožena sa brojem opcija prema delta ekvivalentu. VaR portfolia dobiva se excel funkcijom =PERCENTILE(data;confidence_level).
Analitičku metodu nismo mogli koristiti kod portfolia sa opcijom jer promjene vrijednosti portfolia nisu linearne sa promjenom faktora rizika (u ovom slučaju to je cijena dionice A). Kada bi to napravili, VaR bi bio iskrivljen odnosno podcijenjen.
Zaključak
U ovom postu prikazane su 3 metode izračuna VaR-a za dionički portfolio (koji je linearan) te za nelinearni portfolio (dionica + opcija). Na sličan način moguće je dobiti VaR za portfolio obveznica, s time da umjesto vektora udjela u izračun ulazi vektor PVBP (present value basis point) za svaku točku dospijeća na krivulji prinosa, dok umjesto matrice kovarijanci povrata dionica u izračun ulaze varijance i kovarijance promjena kamatnih stopa za svako dospijeće na krivulji prinosa. Također, moguće je dobiti i VaR uslijed promjene tečajeva (npr. ako dionice kotiraju na burzi u valuti različitoj od domaće - u kojoj je P&L).
U ovom primjeru korištena je pretpostavka da je volatilnost konstantna, odnosno jedinstvena za cijelo povijesno razdoblje mjerenja ili simulacije. U praksi to nije tako pa se za realniji VaR trebaju koristiti modeli promjene volatilnosti kao što su EWMA i GARCH. O tome u slijedećim postovima.
|
