Pregled posta

DESCARTES I SFERA

DESCARTESOVA ANALITIČKA GEOMETRIJA






Zlatan Gavrilović Kovač





Moram priznati da nikada nisam bio neki poseban stručnjak iz područja matematike I geometrije. Štoviše mogao bih reći da mi je matematika jako loše išla u srednjoj školi. Ali sam u trećem razredu Pomorske škole u Splitu neobično sa udivljenjem pratio predavanja iz analitičke geometrije I sferne trigonometrije. S obzirom da je prema nastavnim planovima za srednju pomorsku školu bilo predviđeno da studenti moraju jako dobro poznavati analitičku I sfernu geometriju. Ne mogu osporiti da sam veliku ljubav prema astronomiji osjetio upravo kroz pitanja ovih geometrija. Kasnije smo u četvrtome razredu razmatrali pitanja astronomije I astronomske navigacije koja su imala direktve veze sa prethodnim geometrijskim naobrazovanjem.
Ja ću sada ukratko razmotriti ova pitanja kako sam ja shvatio te dvije geometrije koje su neobično mnogo značile za moje razumijevanje astronomije I astronomske problematike

Geometrija se bavi definicijom pojmova krivulja, površina,
čvrstih tijela, ploha, tangenta, tangencijalna ravnina, evoluta i evolventa, izračunom
zakrivljenosti, duljine luka, površine i volumena. Od interesa za nju je određivanje
oblika određenih krivulja, površina ili čvrstih tijela zbog geometrijskih ili fizičkih
zahtjeva. Na primjer, promatrajući probleme loksodroma, lančanica ili brahistokrona (krivulje na kojima se točka mase pod utjecajem gravitacije kreće od točke A do točke B ispod nje u najkraćem mogućem vremenu), ravnotežne figura rotirajućih masa itd., prva pitanja koja se bave maksimumima ili minimumima funkcija bila su geometrijske prirode. To su tako nekako stručno opisali J. Scriba I Peter Schreiber u svome radu 5000 years of geometry. Za nas je važno da spomenemo tu problematiku koordinatnih metoda I sveze geometrije I algebre s obzirom na analitičku geometriju. Ja sam se uvijek divio tome geometrijskome jeziku I sposobnosti da se geometrijske figure predstave algebarskim odnosima. To me uvijek duboko fasciniralo.

Koordinatna metoda – geometrija i algebra

Koordinatni sustav (u svom najopćenitijem smislu) uvijek postiže dvije stvari: Prvo, olakšava algebarsku obradu geometrijskih problema tako što nam omogućuje da teoreme i probleme o geometrijskim objektima prevedemo u ekvivalentne teoreme i probleme putem njihovog formiranja koordinata i – tako reći – računske simulacije geometrijskih procesa. Dakle, unutar
temelja matematike od početka istraživanja, postoji mogućnost
demonstriranja pouzdanih modela temeljenih na algebri i aritmetici
za aksiomatski karakterizirane geometrijske strukture. Drugo, koordinatni
sustav olakšava ilustraciju i optički prikaz algebarskih činjenica.
Na taj način ne samo da ključno podržava intuiciju, već i pruža uvide
u određene razvojne faze matematike, koje bi inače
predstavljale nedostižne algebarske odnose. Najvažnije je da je veza
između moguće vrlo apstraktnih funkcionalnih odnosa (kao što su između ekonomskih, znanstvenih ili tehničkih veličina) i (dvodimenzionalne ili trodimenzionalne)
grafičke slike relevantne funkcije
"plod" ove "inverzne primjene" koordinatne metode. S
današnjeg gledišta, ovo ispreplitanje geometrijskih i algebarskih metoda
preduvjet je i jezgra da matematika bude sposobna i učinkovita.

Najlakši i najkraći odgovor na pitanje o podrijetlu koordinatne metode dobro je poznat. Kaže se da potječe od Renéa Descartesa i Pierrea de Fermata, koji su se gotovo istovremeno i u biti neovisno jedan od drugoga složili 1637 godine kada je objavljena Descartesova Geometrija da bi upravo ta godina 1637. trebala biti važna godina nastanka analitičke geometrije.

Međutim, stari Grci su već
svaku izvornu definiciju krivulje pretvarali u ekvivalentno ograničenje pomoću "algebarskog" odnosa između određenih varijabli i određenih
fiksnih (ovisnih o pripadajućim dijelovima krivulje) veličina (uglavnom
dužina, ali ponekad i površina, kutova,...), tj. "simptoma"
relevantne krivulje. Jasno je da je takozvana geometrijska algebra starih Grka uglavnom služila svrsi rada s takvim simptomima i rješavanja problema ili provjere teorema na temelju ove pretpostavke. Nadalje, rijetki primjeri koje je pružio antički svijet pokazali su kao iskustvenu činjenicu da krivulju u ravnini normalno karakterizira simptom
s točno dvije varijable, dok simptom površine u prostoru zahtijeva
tri varijable. Međutim, antička geometrijska algebra bila je ograničena, budući da se
množenje količina – izraženo na moderan način – smatralo
geometrijski ostvarenim tek sa Kartezijevim produktom.

To je stručno bismo mogli reći glavna ideja analitičke geometrije, da se geometrijske metode isprepliću sa algebarskim I da se mogu predstaviti jedne u druge.

Razmotrimo sada sustav koordinatnih osi , hozizontalnu I vertikalnu mrežu postavljenu na ravninu koja daje numeričke odnose svakoj točki na dvodimenzionalnoj površini . Horizontalna os, takozvana x-os ima brojčanu skalu koja se povečava prema desno, a vertikalna os, takozvana y-os ima skalu koja se povećava prema gore. Pomoću njih moguće je kretati se naprijed-natrag između geometrijske točke I njenih numeričkih koordinata. I sada vidimo da algebarska jednadžba generira geometrijsku krivulju . Ova veza između algebre I geometrije čini se sasvim prirodnom. Stoga je iznenađujuće da je tek nedavno nastala. Dok euklidska geometrija bez algebre datira više od 2000 godina ova analitička geometrija nije starija od 4 stoljeća. Tema se pojavila kao I mnoge matematičke inovacije u 17 stoljeću kod Descartesa I Fermata ali prvenstvo prirpada Descartesu. Godine 1637 Descartes je napisao opsežno djelo pod nazivom Rasprava o metodi, svojevrsni filozofski putokaz za novu znanstevnu revoluciju I novo mišljenje . Tom traktatu kao naknadnu misao priložio je dodatak pod naslovom Geometrija. Descartes je tu zapisao: “ Svaki se problem geometrije lako može svesti na takove pojmove da je poznavanje duljina određenih pravaca dovoljno za njihovu konstrukciju… I neću oklijevati uzeti te aritmetičke pojmove u geometriji”
Do tada prazna euklidska ravnina na kojoj su idealizirani oblici igrali svoje geometrijske uloge sada je bila preplavljena brojevima – Descartesovim “aritmetičkim pojmovima” koji mjere njihove dužine I označavaju njihove položaje.
Nažalost večini čitatelja Geometrija nije bila laka. Čak ie I Newton priznao da isprva nije mogao razumjeti Descartesovu metodu. Ako je Newton imao poteškoća onda je lako zamisliti nevolje u kojima su se našli manje nadareni učenici. Tipična za Descartesa bila je njegova opomena cijenjenom čitateljstvu : “Neću se zaustaviti da ovo detaljnije objasnim jer bih vam uskratio zadovoljstvo da to sami savladate...Ovdje ne nalazim ništa toliko teško da to ne može riješiti netko tko je upoznat s običnom geometrijom I algebrom.” Descartes je bio posebno izravan kada je Mersenneu opisao svoju knjigu :” Izostavio sam niz stvari koje bi je mogle učiniti jasnijom, ali sam to učinio namjerno I ne bih htio drugačije.” On je naime držao da se implicitna filozofija I jasnoća trebaju izbjegavati u matematičkom izlaganju. Srećom su drugi uspjeli preoblikovati te ideje u razumljive pojmove kao što je na primjer napravio Frans van Schooten (1615-1660) iz Amsterdama u svojoj Geometriji . Naime teškoća se sastoji u tome da predmet koji se proučava nije identičan modernome shvaćanju. U Descartesovo vrijeme osi nisu uvijek bile crtane okomito jedna na drugu. Ponekad se y-os uopće nije crtala a odbojnost prema negativnim vrijednostima često se ograničavala samo na rad gornjega desnoga područja ravnine, takozvanog prvoga kvadranta gdje su iX iY pozitivne koordinate. Kasnije je Newton na primjer dao I svoj doprinos analitičkoj geometriji jer je analizirao I pomno grafički prikazao 72 različite vrste jednadžbi trećega stupnja.

Od samoga početka bilo je očito da analitička geometrija ima dvije važne ali suprotne teme. U jednoj se algebra koristi u službi geometrije a u drugoj se geometrija koristi u službi algebre. Promatrane zajedno one stvaraju svojevrsnu matematičku simbiozu u kojoj svaki aspekt problema ima koristi od svoga odnosa prema drugome. Descartes je bio sklon započeti sa geometrijskim problemom I primijeniti algebarske tehnike kao bi došao do riješenja . Za njega su relativno moderne ideje simboličke algebre mogle riješiti pitanja iz stoljetno starih tema euklidske geometrije.
Drugi je poticaj donekle tipičniji za Fermata jer je on započeo sa algebarskim izrazom I koristio ga je za generiranje geometrijskoga lika na ravnini. Fermat je imao ovaj pristup na umu kada je zapisao: “ Kada god se u konačnoj jednadžbi nađu dvije nepoznate veličine imamo lokus, kraj jedne od njih koji opisuje liniju , ravnu ili zakrivljenu “ Ovaj Fermatov uvid kasnije je omogućio matematičarima da generiraju nove krivulje po volji jednostavnim crtanjem točaka sve složenijih jednadžbi. Prije pojave analitičke geometrije priroda krivulja bila je ograničena na one koje se pojavljuju “prirodno”. Matematičari su bili upoznati sa krugovima elipse I spirale jer su one imale porijeklo u dobro poznatim geometrijskim problemima. Ali smišljajući neobične jednadžbe matematičari su generirali krivulje koje se uvijaju u dotada neviđene oblike preko x-y ravnine. Usvajanjem ovoga većega repertoara krivulja stekli su uvide koji će se pokazati bitnima u razumijevanju njezinih algebarskih svojstava. Geometrijski dijagrami motivirali su rasprave o diferencijalnom I integralnom računu I imali su istaknuto mjesto u razvoju Newtonove metode. Pa onda Cardana I drugih sve do najnovijih teoretičara kao što je to suvremeni William Dunham I ostali. Postoje mnogi primjeri koji bi se mogli pridati potpori analitičke geometrije. Jedan takav primjer dao je I već spomenuti Dunham koji je dao značajne matematičke dokaze algebarske prirode specifičnih krivulja. I on kaže da je ovo krasno područje za proučavanje takozvanih konika : elipse, parabolje, hiperbole . Unutar okvira x-y osi ove se figure puno lakše razumiju nego tretiranjem, na grčki način, kao različiti presjeci stožaca.


I mi bismo na kraju svoje udivljenje analitičkom geometrijom mogli zaključiti da je ovaj spoj geometrije I algebre najsretniji oblik jedinstva u cijeloj povijesnici matematike pa onda nije čudno da I sasvim bezazleni studenti koji nemaju velikoga znanja o matematičkim problemima ostaju zadivljeni pred ovom zgradom matematičke apriornosti I znanstvenoga predviđanja.













SFERNA TRIGONOMETRIJA





Zlatan Gavrilović Kovač




Kao što je poznato, astronomija, geografija i geodezija morale su ispunjavati važne religijske
zadatke u islamskom svijetu: kalendar, ovisno o kretanju Mjeseca,
morali su predviđati astronomi, za što su morali znati datum
prve vidljivosti polumjeseca nakon mladog mjeseca. Vrijeme pet dnevnih
molitvi ovisilo je o položaju sunca i, stoga, ovisilo je i o
odgovarajućim geografskim koordinatama. Štoviše, bilo je potrebno točno odrediti
smjer molitve prema Meki, poznat kao kibla ili qibla, za
svako naseljeno mjesto. Smjer je dalje označavan sunčanim satovima i
u svakoj džamiji.
Do 800. godine u Bagdadu su već bila poznata aleksandrijska i indijska djela o astronomiji
koja su se bavila trigonometrijskim metodama . Stoga je
postojala prilika usporediti odgovarajuća djela Hiparha,
Ptolomeja i Menelaja s polukordnom trigonometrijom razvijenom u Indiji
od 6. stoljeća Na početku arapske trigonometrije ponovno nalazimo
al-Hwarizmija, koji je sastavio tablicu sinusa uključujući objašnjenja.
Grčka akordna trigonometrija sve je više bila potisnuta sinusnom trigonometrijom.
Muslimani su proširili dvije osnovne trigonometrijske funkcije koje su predložili
Indijci, sinus i kosinus, na šest takvih funkcija. Tangenta i kotangens
razvijeni su prvo pri proučavanju sjene koju bacaju sunčani satovi: tangenta kao
odnos duljine sjene standardiziranog stupa postavljenog vodoravno
na zid, kotangens kao sjena gnomona (vertikalni stup na vodoravnom
tlu). Od kraja 10. stoljeća bila je poznata mogućnost korištenja
radijusa kruga kao jedinice duljine tako da se sve funkcije mogu promatrati kao omjeri
dužnih odsječaka. Uskoro su se korišteni i za druge probleme. Osim toga, postojali su sekans i kosekans (omjeri hipotenuze i susjedne ili suprotne katete u pravokutnom trokutu). Za sve te funkcije trebalo je izračunati tablice, a odnose među njima istražiti.
Na primjer, za al-Habashisa se kaže da je u 9. stoljeću konfigurirao tablice za neke od novih osnovnih funkcija. Gotovo svi astronomi na islamskom području sastavili su astronomske, trigonometrijske priručnike, poznate kao 'zige'. Matematičari i astronomi proveli su puno vremena tijekom stoljeća radeći na takvim izračunima, uključujući poboljšanje potrebnih metoda (uz interpolaciju prvog stupnja, postoje i primjeri drugog stupnja). Time su zadržali – baš kao što je to učinio Ptolomej – seksagesimalni sustav, koji seže do Babilonaca i podjele kruga na 360°. U Abk’l-Waf
ovom djelu ‘zig almagisti’ iz 10. stoljeća, možemo, na primjer, pronaći sljedeću formulaciju za teoreme zbrajanja i oduzimanja
u vezi sa sinusnom funkcijom :
„Izračun sinusa zbroja dva luka i sinusa njihove
razlike kada je svaki od njih poznat. Pomnožimo sinus svakog od njih s kosinusom drugog, izraženim u šezdesetinama, i zbrojimo
dva produkta ako želimo sinus zbroja dva luka, ali uzmemo
razliku ako želimo sinus njihove razlike.“



Islamski matematičari također su uveli trigonometrijske funkcije u
sferiku. Na primjer, sinusni zakon za sferne trokute bio je poznat u
10. stoljeću: omjer sinusa dviju stranica jednak je omjeru
sinusa njihovih suprotnih kutova u sfernom trokutu.
Nas.1r al-D1n at.-Tks1, kojeg je A. P. Juschkewitsch
nazvao najznačajnijim orijentalnim znanstvenikom u području trigono-
metrije i za kojeg je mongolski vladar Hkl
gk Khan izgradio opservatorij u
Maraghi u Perziji, sustavno je ispitao primjenu sinusnog zakona za sve moguće slučajeve ravninskih trokuta.

Sastavio je prvi neovisni traktat o trigonometriji: 'Knjiga o
potpunom četverokutu'. Menelajev teorem, koji se odnosi na ovu figuru,
već je bio konzultiran za izračune trokuta od strane islamskih astronoma vrlo
rano. At.-Tks1 bavio se sfernim trokutima sa i bez ovog teorema,
dok je sinusni teorem već bio poznat njegovim prethodnicima. Muslimanska
astronomija i trigonometrija dosegle su svoj vrhunac u 15. stoljeću u
poznatom, izvrsno opremljenom Ulugh Begovom opservatoriju u Samarkandu.Domišljati al-K
sh1 radio je tamo, koristeći pametnu metodu iteracije
kako bi izračunao sinus od 1ć s velikom točnošću pomoću
jednadžbe za trisekciju kuta. U osnovi, postupio je na sljedeći način:
Budući da sin 3ć možemo odrediti koliko god točno želimo (možemo ga konstruirati pomoću
šestara i ravnala koristeći razliku od 36ć na peterokutu
i 30ć na šesterokutu), primijenio je jednadžbu za trisekciju kuta:
sin 3± = 3sin ±  4sin3 ±.

(Ovu formulu prvi put susrećemo u ovom točnom tekstu u Vietinom
djelu krajem 16. stoljeća.) Ona je tipa x3 + q = px. (Prijašnja
klasifikacija pretpostavljala je da su koeficijenti pozitivni – ovdje: p = 34, q = 14 sin 3ć.)
Al-Káší je izračunao da je prva aproksimacija x1 = pq pomoću x =3q+x3p1H pq. To vodi do druge aproksimacije x2 = q+x, itd. To,p
zauzvrat, ukazuje na posebnu značajku sposobnosti dobivanja daljnjeg točnog
seksagesimalnog broja sa svakim korakom Pretvoren u decimalni
sustav, al-Kášíjev rezultat daje 18 decimala:
sin1ć = 0.017 452 406 437 283 571.



Naravno mi ne možemo sada tako stručno I opsežno razmatrati ove probleme. Jedan dio te povijesti I te geometrijske problematike kada je riječ o muslimanskom matematičarima mi smo već spominjali u prvom volumenu naše Kozmologija zlatnoga prstena


Ovaj izbor geometrije islamske matematike nije sužen samo zbog ograničenog prostora prve knjige. Velik broj nepročitanih arapskih rukopisa nalazi se u orijentalnim knjižnicama, zbog čega istraživači još nisu uspjeli dobiti potpuniju sliku razvoja i stečenog znanja. Budućnost bi ovdje mogla donijeti neka velika iznenađenja.


NEKI OSNOVNI POJMOVI



Sferna trigonometrija je trigonometrija sfernoga trokuta odnosno geometrija zavisnosti između stranica I kutova sfernoga trokuta. Za razliku od obične trigonometrije ravnine u sfernoj trigonometriji tri kuta trokuta jednoznačno određuju njegov oblik I dimenzije



Geometrija sfere- Geodezijska linija je prava linija plohe čija je geodezijska krivina u svakoj njenoj točki jednaka nuli. Dovoljno mali lukovi geodezijske linije najkraći su putevi te plohe između svojih krajnjih točaka. Tako geodezijske linije na plohi igraju istu ulogu kao prave linije u ravnini. Geodezijske linije na cilindru na primjer su linije zavrtanja a na kugli su veliki krugovi


Geodezijske linije sfere- Presječemo li kuglu ravninom kroz njeno središte, na plohi kugle ili sfere dobijamo glavnu kružnicu čiji radijus jest jednak radijusu sfere. To je velika kružnica date sfere. Kroz proizvoljne dvije točke A I B na kugli, s izuzetkom dijametralnih, možemo povući jednu veliku kružnicu . Njen manji luk AB je najkraća linija na kugli odnosno sferi koja spaja te točke. Zovemo je geodezijska linija na kugli I na kugli ima istu ulogu kao prava linija u ravnini.
MJERENJE
Dužina luka glavne kružnice sa centralnim kutom (u radijanima), jednaka je gde je radijus sfere (sl. 2. ). Za jednu istu sferu prikladno je za jedinicu mjerenja luka uzeti radijus Tada je U narednim formulama primejnjena je ta mjerna jedinica
Sferni trokut

Tri velike kružnice na sferi određuju nekoliko sfernih trokuta . Od njih posmatramo onaj kome svaka od tri stranice ima centralni kut velike kružnice manji od 180°, odnosno kome je svaki od unutrašnjih kutova manji od 180°.
Osnovne osobine sfernog trokuta
Zbroj A+B+C unutrašnjih trokuta sfernog trokuta uvijek je veći od 180°.
Razliku (A+B+C)-Ŕ=´, mjerenu u radijanima , nazivamo sferni eksces datog sfernog trokuta.
Površina sfernog trokuta dvokuta
Površina sfernog trokuta je , gdje je R radijus lopte, a ´ je sferni eksces.
Površina sfernog dvokuta koji čine dva luka glavnih kružnica je gdje je kut A izražen u radijanima
Rješavanje sfernih trokuta
Naspram nalaze se lukovi, stranice sfernog trokuta . U tim relacijama sfernog trokuta nalaze se istoimeni kutovi.
Pravokutni trokut
Neka su katete, a je hipotenuza pravokutnog sfernog trokuta ABC. To znači da tangente povučene na katete (lukove CA i CB) u točki (C) naspram hipotenuze grade pravi kut. Važe sljedeći odnosi:






Ove formule možemo dobiti iz sljedećeg Neperovog pravila:
Ako rasporedimo pet elemenata pravokutnog trokuta (bez pravog kuta) po kružnici redom kako se oni nalaze u trokutu , i zamjenimo katete s njihovim komplementarnim kutovima tada:
kosinus svakog elementa jednak je proizvodu kotangensa dvaju njemu susjednih elemenata;
kosinus svakog elementa jednak je proizvodu sinusa njemu suprotnih elemenata.
Na primer,
Kosinusni teorem
Neka su kutovi sfernog trokuta; su nasuprotne stranice. Tada važi:
sinusni teorem;

kosinusni teorem;



Evo to mi se čini da je najvažnije spomenuti ovdje kada je riječ o sfernoj trigonometriji. Ovdje je od cetralne važnosti upravo sfera koju smo toliko puta spominjali. Ali spomenimo ovom prilikom I Kanta iz njegove Prolegomene a to je da je on zagledajući u sferu I diveći se njenoj ljepoti na koncu zapisao: “Zvjezdano nebo nadamnom, moralni zakon u meni.”


Post je objavljen 31.07.2025. u 14:34 sati.