Marketing
Trokut i kružnica
Zadan je jednakostranični trokut stranice a. Konstruirana je kružnica koja prolazi kroz dva tjemena trokuta i presjek njegovih visina. Izračunati površinu P onog dijela zadanog trokuta kojeg od njega odsijeca konstruirana kružnica.(Zadatak je preuzet iz knjige: '500 odabranih i rešenih zadataka iz matematike', Angelov, Branković, Beograd, 1990)
Do sada nisam komentirao zadatke iz geometrije. Razlog je ponajviše u tome što nisam imao pravog alata za crtanje slika. Nedavno sam čuo za program 'Geogebra' koji se već naveliko primjenjuje u osnovnim i srednjim školama u svrhu učenja matematike. U njemu sam izradio potrebne crteže i vjerojatno ću ga koristiti i dalje zbog njegove intuitivnosti i praktičnosti.
Prvo ćemo konstruirati jednakostranični trokut, zatim ćemo spustiti njegove visine ( koje su ujedno i simetrale stranica) i potom označiti njihov presjek sa O. Zatim ćemo konstruirati kružnicu kroz dva tjemena A i B i ortocentar O. Znamo da kroz tri točke možemo povući samo jednu kružnicu, u Geoalgebri imamo alat za takvu konstrukciju. Još uvijek ne znamo gdje točno pada centar ove kružnice, ali znamo sigurno da se nalazi na vertikali (simetrali) s. (Centar kružnice jednako je udaljen od točaka A i B ( kao i svih točaka na kružnici), simetrala s dužine AB po definiciji je skup svih točaka jednako udaljenih od krajeva dužine A i B, pa zaključujemo da je i centar O1 jedna od tih točaka na simetrali. ) Označit ćemo na slici i centar O1 pa ćemo nastaviti sa razmatranjem( mi još uvijek ne znamo koliko je centar udaljen od točaka A, B i O, ali koristimo blagodati programa).
Idemo dalje: jasno je da je kut "AOB = 120 ş. Kako to znamo? Rekli smo da je O ujedno i centar opisane kružnice trokuta łABC, znamo za poučak da je centralni kut kružnice ("AOB) dvostruko veći od odgovarajućeg obodnog kuta (kut ACB). Mogli smo to zaključiti i ovako: kut "OAB iznosi 30 ş ( jer je linija AO u jednakostraničnom trokutu ujedno i simetrala kuta), isto toliko iznosi i kut "ABO pa proizlazi "AOB = 120 ş.
Sve navodi na to da vrijedi: R=AO=OO1, dakle da je trokut łAO1O također jednakostraničan...
Prisjetimo se sada da u svaku kružnicu možemo upisati šest jednakostraničnih trokuta(slika):
Zaključujemo da i ovdje imamo taj slučaj, tj. trokuti łAO1O i łOO1B su jednakostranični, a radijus R=AO. Kako je točka O ujedno i težišnica trokuta łABC, vrijedi R=AO=
* h = * 
*
= 
.Sada je lako pronaći traženu površinu kao razliku površina kružnog isječka (određenog sa točkama O1 , A i B) i trokuta łAO1B. Dobit ćemo:
Za rješavanje geometrijskih zadataka najbitnija je sposobnost sagledavanja bitnih elemenata u zadatku, kao i njihovih međusobnih odnosa u cjelini. Vrlo često potrebno je napraviti dodatne konstrukcije da bi se izvukli potrebni zaključci. Može se reći da je za rješavanje ovakvih zadataka potrebno krenuti od prave ideje, a ideja se dobija boljim upoznavanjem sa problemom. U kvalitetnoj nastavi matematike učenike se stimulira modelima geometrijskih tijela, raznim pomagalima koja simuliraju preslikavanja, programima poput Geogebre koji su također izvrsni za bolje upoznavanje učenika sa materijom. Nakon toga, rezultati u rješavanju zadataka ne mogu izostati.
Post je objavljen 12.01.2016. u 08:29 sati.