Nigel Lesmoir-Gordon, Will Rood i Ralph Edney
Izdavač: Naklada Jesenski i Turk
Jednolični pravokutni predmeti poput kutija i zgrada u prirodi se ne pojavljuju. Svijetu u kojem živimo nisu prirođeni glatki rubovi. Stvarni svijet nije porubljen. U prirodu su glatke plohe iznimka. Pa ipak, mi smo prihvatili geometriju što opisuje oblike koji se tek rijetko – ako uopće – mogu naći u stvarnom svijetu. Euklidova geometrija opisuje idealne oblike – kuglu, kružnicu, kocku, kvadrat. Danas u našim životima ima takvih oblika, no oni su većinom djelo ljudskih ruku, a ne djelo prirode.
Fraktalna geometrija je geometrija prirodnog svijeta – životinjskog, biljnog i mineralnog ... razlomljenih, naboranih i neravnih prirodnih oblika, drukčijih od Euklidovih idealnih oblika.
Riječ 'fraktal' skovao je 1975. poljsko-francusko-američki matematičar Benoit Mandelbrot kako bi opisao oblike koji iskazuju detalje svim mjerilima. On je iz latinskoga uzeo riječ fractus koja usgerira nešto rascijepljeno, slomljeno i prekinuto.
Fraktalna geometrija je geometrija nepravilnih oblika koje nalazimo u prirodi, a fraktali su opčenito obiljećeni beskonačno sitnim detaljima, beskonačnom duljinom i nedostatkom glatkoće ili derivacije.
Topologija matematički istražuje geometrijska svojstva i prostorne odnose koji ostaju nepromijenjeni prilikom istezanja, savijanja, uvijanja itd.
Drveća, oblaci i planine slični su svojim vlastitim manjim dijelovima.
Ima li vjetar brzinu? Jedno od velikih otkrića E.Lorenza bio je model turbulenije u fluidu kao zbirke sve manjih i manjih vrtloga. On je svoju zamisao pjesnički priopćio u Swiftovom stilu:
U velikim vrtlozima, što njihovom se brzinom krane;
U malim vrtlozima još manji vrtlozi, to tek na viskoznosti stane.
Engleski ekonomist Thomas Malthus zapazio je da ljudska populazija raste eksponencijalno, dok se proizvodnja hrane povećava tek linearno. Taj populacijski model ima mnogo nedostataka. U prvom redu, on pretpostavlja konstantan porast stanovništva, i ne vodi računa o negativnom povratnom učinku. U stvarnosti, kad jednom populacija dosegne određenu razinu, uključuju se kočnice i porast se zaustavlja.
Ako neke godine populacija padne ispod izvjesne razine, u sljedećoj će godini težiti povećanju. Međutim, ako populacija poraste previše, tada će bitka za prostor i izvore hrane utjecati da se ona ponovno smanji.
Iteracija znači ponovljenu primjenu nekog koraka ili pravila u algoritmu.
Algoritam znači pravila za izvođenje složenih proračuna pomoću niza jednostavnih računskih operacija, recimo pomoću tablice množenja. Kompjutorski se programi služe algoritmima. To je poput psa koji lovi svoj vlastiti rep. Izlazni rezultat prve operacije postaje ulazni podatak za slijedeću, i tako dalje.
Povratni video učinak
Ovo je klasičan primjer iteracije. Filmska kamera uživo snima ekran na kojem se prikazuje slika koju kamera snima, što proizvodi beskonačan tunel ekrana unutar ekrana. Ako je svaki ekran manji od prethodnog njihove slike na kraju iščezavaju u jednoj točki. Ta je točka atraktor sustava.
Teorija kaosa podrazumijeva da se neke vrlo velike promjene mogu izazvati uz minimalnu količinu napora. Svemirski brod se može vozati po Sunčevom sustavo ako ga tek neznatno kvrcnemo u pravom smjeru. Život vam se može radikalno promijeniti uz pomoć nezatnog napora volje u pravom trenutku.
Samosličnost su Julia i Fatou dobro poznavali. Preslikavanja koja je studirao Julia bili su diskretna, ali su ipak prirodno potakla neke analogije s realnim dinamičkim sustavima.
'Pronašli smo atraktore točke u prostoru koje privlače k sebi sve okolne točke. A našli smo i repelore.'
Repelori ('odbojnici') su oko sebe stvorili bazene privlačnosti, baš kao kad kapi kiše pronalaze put do ove ili one rijeke. Granica između ploha koje skupljaju kišu sastoji se od odbojnih točaka koje guraju susjedne točke od sebe. Pokazuje se da su te granice vrlo složene. One su danas poznate pod imenom 'Julijini skupovi'.
Ogoljelo drveće zimi slično je ušću rijeke ili anatomskim crtežima krvožilnog sustava.
Kad otkinete grančicu s glavice cvjetače, primjetio je mali komadić koji izgleda baš onako kako je izgledala cjelina. Zatim otkrio je Benoit, možete sa cvjetače otkidati sve manje i manje grančice, a da one do izvjesne mjere i opet nalikuju cijeloj cvjetači.
Postoji 'matematika za oko' i zorno predočavanje problema jednako je vrijedno kao i bilo koja druga metoda nalaženja rješenja.
Mandelbrot je predosjetio da je unutarnji oblik stvari – skriveni red.
Jednostavna pravila, kompleksno ponašanje
Složene pojave ne zahtijevaju nužno složena objašnjenja. To je srž teroije kaosa, a prekrasno je izražena Lorenzovim atraktorom. 'Jednostavna pravila proizvode vrlo složeno ponašanje'.
Sasvim jednostavna formula kao što je, primjerice, Newtonov kakon koji se sastoji od tek nekoliko simbola, može na točnost od 50 decimalnih mjesta objasniti gibanja planeta oko Sunca i još mnogo mnogo drugih stvari.
Newtonov zakon i kaos
Iako Newtonov zakon opisuje periodično orbitalno gibanje planeta u Sunčevu sustavu, on podrazumijeva i da je taj sustav u stvari kaotičan – stabilan samo na kratki rok. U ovom slučaju, taj je rok nekoliko milijuna godina.
Asteroidni prsten koji leži između Marsa i Jupitera jasan je dokaz kaosa koji se podrazumijeva u Newtonovom zakonu. Saturnovi prstenovi odlikuju se fraktalnom strukturom svojstvenom Cantorovom skupu, s procjepima u kritičnim područjima koji odgovaraju nestabilnim orbitama. Nemoće je predvidjeti dugoročno ponašanje bilo kojeg sustava koji se sastoji od triju ili više tijela.
Svaki dio planine sliči cijeloj planini.
Listić paprati izgleda ko cijela paprat.
To je temeljna odlika koja upravlja rastom svih složenih orgnaizama. Isti se oblici pojavljuju u mnoštvu različitih okolnosti, u različitim materijalima, organskim i anorganskim, u širokom rasponu mjernih ljestvica. Djelić krvožilnog sustava sličan je cilom sustavu. A nalikuje i drvetu, riječnom ušću i tananom potočiću.
Mi ne znamo ništa o tome koje će drvo prvo planuti, ali znako kako se vatra širi. Vatra ima graktalnu granicu. Isto načelo koje vrijedi za šumske požare može se primijeniti i na širenje zaraznih bolesti ili na polarnost magneta. U biti, tu se odvija isti proces. Kad se prijeđe kritični prag, vatra se širi prema van, bolest postaje epidemija, a materijal magnet.
Mi smo fraktalni. Naša pluća, naš krvožilni sustav, naš mozak nalikuju drveću. To su fraktalne tvorevine.
Tajanstveni mozak
Sa sigurnoću možemo reći da je naš mozak jedna vrlo fraktalna spravica! Njegova je fraktalna struktura očigledna. Dovoljno ga je pogledati da bi se u to uvjerili. Naboran je, pun pregiba i zavijutaka, i pritom se višestruko presavija sam oko sebe.
Duboka ironije je u tome što taj izuzetan organ, sjedište uma, i koji je stvorio ili otkrio matematička pravila prema kojima djeluje i on sam i cijeli svemir, ne zna objasniti svoje vlastito djelovanje.
Uz pomoć kompjutora dobivaju se matematičke slike koje otkrivaju hoće li rak zavatiti stanice ili ne. Kompjuter može izmjeriti fraktalnu strukturu stanice. Ako su stanice jako fraktalne, loše im se piše. S takvim stanicama nešto nije u redu.
Pokazalo se da fraktalni oblici čine naučinkovitije oblike za antene mobilnih telefona.
Fraktali slični orhideji i ponašanje gomile
Fraktalna geometrija danas se upotrebljava i za modeliranje ponašanja ljudske gomile. Pokazalo se da se u masi ponašamo fraktalno. Radovi g.Keitha Stilla doveli su do neočekivan otkrića o tome kako se ponašaju ljudske mase i kako se tim ponašanjem može upravljati.
Naše ponašanje slično je onome jata ptica ili riba, koje se giba poput jedne cjeline.
Gomila koja ulazi na stadion, napušta ga ili se po njemu giba, stvara zanimljive behavioralne uzorke. Iako jesmo individualne osobe i možemo donositi odluke o tome u kojem ćemo se smjeru gibati, koliko daleko i kako brzo, u stisci, užurbanosti i trenutačnoj fluidnoj situaciji gibamo se kao jedan organizam.
Kozmičke veze
Kao što fraktalna geometrija danas omogućuje kozmolozima da u novom svijetlu promotre te škakljive probleme, tako i najnovije inačice teorije velikog praska uzimaju u obzir da je svemir zapravo samoobnovljivi fraktal koji u beskonačnost sam iz sebe stvara nove svemire. To bi značilo da nije samo fraktalna prostorna građa svemira, već je fraktalan i njegov vremenski razvitak.
U toj teoriji širenja, lančana reakcija stvara nove fraktalne svemire unutar svemira. Ako je to slučaj tada nema kraja evoluciji u bilo kojem mjerilu.
Tržišna 'samoafinost'
Ako se uvaćava neki detalj grafikona koji ima veću visinu nego širinu – kao što je dijagram koji prikazuje pojedinačne skokove cijena nekog paketa dionica – tada se, pri transformaciji cjeline u manji dio, horizontalna os mora smanjiti više nego vertikalna. Za grafikon kretanja cijena, ta transformacija mora stisnuti vremensku ljestvicu (horizontalnu os) jače nego ljestvicu cijene ( vertikalnu os). Geometrijski odnos cjeline prema njezinim cijelovima naziva se 'samoafinost'.
Ornamentalni uzorci: samosličnost
Arthur C. Clarke smatra da je možda posrijedi tek koincidencija, 'ali' piše on, 'čini se da Mandelbrotov skup doista u sebi sadrži ogroman broj mandala i vjerskih simbola, onakvih kakvi se nalaze u crkvenim ukrasima – poput obojenih staklenih prozora, i to posebno u islamskoj umjetnosti. Raznolike motive papučice, koji se čine kao odraz Mandelbrotovog skupa, nalazimo u umjetninama nastalima stoljećima prije otkrića Mandelbrotova skupa!'
Znakovi u krajoliku
Umjetnost iskazuje stvari koje nismo u stanju odmah prepoznati ni razumjeti. Umjetnik nam pomaže da vidimo jasnije, otkrivajući uzorke koji su prvotno bili prekriveni. Umjetnost je fraktalna. Umjetnost je odraz i izraz fraktalne naravi našeg svjesnog poimanja svijeta, onakvog kako ga tumači naš fraktalni mozak.
Fraktali u glazbi
Sva glazba od Bacha do Beatlesa, čak i ptičji pjev, odlikuje se šumom 1/f, dakle iskazuje jednaku dinamičku uravnoteženost između dosadne jednoličnosti i slučajnog nesklada. Gledana u tom svjetlu, glazba je simulacija harmonije u prirodi.
Naše novostečeno razumijevanje tajnih pravilnosti prirode poslužilo je za usmjeravanje umjetnih satelita prema ovim odredištima s mnogo manje goriva nego što se smatralo potrebnim, za smanjenje oštećenja na kotačima lokomotiva i vagona, za poboljšanje učinkovitosti srčanih pacemekera, za upravljanje šumama i ribnjacima, pa čak i za proizvodnju boljih perilica za suđe. No najvažnije od svega, pružilo nam je dublji pogled u svemir u kojem živimo, i na naše mjesto u tom svemiru.
Post je objavljen 20.01.2010. u 13:02 sati.