utorak, 06.02.2007.
Omjeri i razmjeri – proporcije
Napomena: ne morate učiti konstrukcije!!
Omjer je odnos bilo kojih dvaju veličina (mjera), a:b. Omjerom se postiže sklad ili uvjetuje nesklad cjeline – omjeri su nevidljiv, ali uvijek prisutan element u kompoziciji svakog likovnog djela
- kad je u nekom djelu dosljedno provedeno načelo da se neki omjeri ponavljaju, onda govorimo o proporcijskom sustavu
Razmjer je izjednačenje dvaju ili više omjera, a:b=c:d
- zajednički nazivnik naizgled nespojivih pojava - odnos više omjera i više veličina. - od razmjera je omjer uvijek sačuvan; razmjer je izjednačavanje omjera. Razmjeri su:
a : b = c : d
a : b = b : c (tzv. neprekinuta proporcija)
a : b = b : (a + b) tzv. "zlatni rez"
npr. omjer: 4 : 2 (= 2)
razmjerno: 8 : 4 (=2), 32 : 16 (=2), 100 : 50 (=2), itd.
Iz ovog pravila proizlaze progresivni nizovi brojeva, u kojima se bilo koja dva susjedna broja međusobno jednako odnose kao bilo koja druga dva susjedna broja. Najpoznatiji proporcionirani nizovi su:
Aritmetički niz: uvijek isti broj zbraja se sa svakim slijedećim članom niza, što čini sve veličine između dva člana uvijek jednake, npr:
1, 2, 3, 4, 5... (svaki broj zbraja se sa 1), ili: 1, 4, 7, 10... (zbroj s 3), itd.
Geometrijski niz: uvijek isti broj množi se sa svakim slijedećim članom niza, što čini da se veličine između dva člana velikom brzinom povećavaju, npr:
1, 2, 4, 8, 16, 32... (množenje s 2), ili: 1, 3, 9, 27, 81... (množenje s 3); itd.
Harmonijski niz: počinje od cijelog broja (1), koji se dijeli na polovinu, trećinu, četvrtinu, petinu, šestinu i tako u beskraj. Dakle: 1, 1/2, 1/3 (ili 2/3), 1/4 (ili 3/4), 1/5 (ili 4/5), 1/6 (ili 5/6) itd. Pošto je harmonijski niz zapravo aritmetički niz pod razlomkom (1, 2, 3, 4... - 1, 1/2, 1/3, 1/4...) o njemu se govori i kao o obrnutoj proporciji.
- Leonardo je primjetio da ono što je u prirodi u aritmetičkom nizu (drvored) na slici će izgledati kao harmonijski niz (geometrijska perspektiva)
Fibonaccijev niz: dva člana niza zbrojena međusobno daju slijedećeg člana niza: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... Omjeri u ovom nizu su u "zlatnom rezu": 1, 618...
Božanska proporcija ili ZLATNI REZ – najsavršeniji razmjer, jer ima u biti samo dvije veličine Ţ a : b = b : (a+b) – manji dio se odnosi prema većem kao veći prema cjelini, tj. odnos između većeg i manjeg bude jednak odnosu između njihovog zbira (cjeline) i većeg
- vlada ne samo regulacijskim linijama grčke arhitekture, već i biološkom morfologijam
KONSTRUKCIJA ZLATNOG REZA:
Dužinu AB dijelimo na pola i prenosimo dužinu te polovine pod pravim kutom lijevo ili desno; dobili smo točku C. Nju spajamo s točkom B. Veličinu AC prenesemo s točke C na dužinu CB, čime dobijemo točku A1. Iz točke B šestarom prenesemo dužinu BA1 na dužinu AB i dobivamo točku D koja presjeca prvobitnu dužinu AB na odnos major (BD) i minor (DA)
- otkriće Zlatnog reza se pripisuje starim Grcima, ali proporcije Zlatnog reza nalazimo već na Egipatskim građevinama, što je rezultat njihovih astronomskih i drugih mjerenja prirode kojoj je Zlatni rez jedno od osnovnih oblikovnih načela
Traganje za savršenim proporcijama dovelo je umjetnike stare Grčke do uspostavljanja kanona odnosno modula, osnovnih mjera, proporcionalnih pravila za prikaz idealnih mjera ljudskog tijela. Najčešće se koristio odnos veličine glave prema ostatku tijela, što je kod kipara Polikleta iznosilo 1:6, a kod kipara Praksitela 1:7; veličina glave išla je 6 ili 7 puta u veličinu tijela. Polikletov Kopljonoša smatra se najvećim dostignućem klasične grčke skulpture. Razmjeri statue određeni su odnosom glave prema visini ( 1:7) i šake prema čitavoj visini (1:10), zlatni rez odgovara položaju pupka,a širina ramena gotovo je jednaka visini trupa.
Najpoznatije proporcionirano obilježavanje čovjeka izvedeno je na crtežu Leonarda da Vincija - ljudsko tijelo je moguće ucrtati u kružnicu i kvadrat
- visina čovjeka (1) jednaka je širini rastvorenih mu ruku (1). Postavljanjem ruku i nogu u dijagonalu čovjek postaje središte kružnice. Napokon, potezi ispod koljena označavaju zlatni rez, kao i na ramenima: od vrha prstiju do ramena : rame do prstiju druge ruke. Tako je i sa glava+tijelo+natkoljenica : potkoljenica.
Ta ista znanja o pravilnim odnosima veličina koristi se i za namjerno kršenje pravila, posebno u karikaturi (ističu se smiješni ili karakteristični elementi neke osobe) i u tzv. naivnom slikarstvu
- proporcionalnost je važna i u arhitekturi - još od stare Grčke poznajemo geslo "čovjek kao mjerilo stvari", što treba prihvatiti na dvije razine:
1. arhitektura uvijek ima utilitarno svojstvo, njena funkcija određuje njen oblik i mjere - to znači da vrata, primjerice, moraju odgovarati svojom visinom prosječnoj visini osoba koja će ta vrata koristiti odnosno prolaziti kroz njih. Žlijebovi na stupovima grčkih hramova (kanelire) imaju širinu ljudskih leđa, kako bi se osobe koje se okupljaju ispred hrama mogu nasloniti u njih i odmoriti.
2. u projektiranju zgrada koriste se omjeri i razmjeri ljudskih proporcija, čime se stvara osjećaj sklada i prihvaćanja od strane gledatelja koji na nesvjesnoj razini u odnosima arhitektonskih elemenata prepoznaje odnose vlastitog tijela. Stup se, primjerice, omjerom kapitela i stupa odnosi kao ljudska glava prema tijelu; a razmak među stupovima razmjeran je rasponu koraka čovjeka.
- i same mjere su preuzete iz ljudskog tijela – palac, lakat, stopa...
Kadar
Kadar je ravnoteža kretanja i mirovanja. Odijeljenošću od okoliša sabire pažnju, svojim strukturalnim mogućnostima navodi oko na kretanje.
- već sam format platna ili papira određen odnosom visine prema širini; najpoznatiji je tzv. auron, "zlatni pravokutnik", kojemu su stranice u odnosu Zlatnog reza, ali format može biti i dvostruki kvadrat, ili u nekom drugom odnosu.
KONSTRUKCIJA ZLATNOG PRAVOKUTNIKA:
kvadrat stranica 1:1 prepolovimo po okomici, i spustimo dijagonalu polovice (AB) na bazu. Iz novodobivene završne točke baze (D) podižemo okomicu u C i zatvaramo kvadrat.
Pokus- između deset pravokutnika različitih omjera najveći broj ispitanika bira zlatni pravokutnik kao najljepši (21:34) - omjer 21:34 - dio Fibonaccijevog niza
- polje vida predstavlja oval koji se upisuje u pravokutnik sa strananicama u zlatnom rezu
Još nekoliko primjera zlatnog reza u geometriji:
KONSTRUKCIJA PETEROKUTA:
radius kružnice (BD) dijeli se na pola (E) i povezuje sa okomicom nad centrom (C); dužina EC se spušta na dijametar (AD) u točku P, koja se opet spaja sa točkom C; dužina CP se prenosi na obod kružnice – točka P1. P1C ulazi pet puta u kružnicu, bez ostatka. Ako dobivene vrhove spojimo, dobili smo pravilan pentagram, čiji presjeci dužina krakova ponovno čine pravilne zlatne rezove ( c(3):b(5)= b(5):a(8) , 3:5=5:(3+5=8) ).
zlatni odnosi krakova unutar prentagrama
U središtu petokrake zvijezde nalazi se manji pentagram čije dijagonale iscrtavaju novi, manji pentagram, postavljen naopako. Njegovi su krakovi opet u omjeru zlatnog reza. U manjoj je zvijezdi još manja, i tako se pentagram beskonačno kopira sam u sebe (slika 7). Pitagorejci su petokraku zvijezdu nazivali pentalfa, jer je sastavljena iz pet slova A, i bila je tajni znak njihovog bratstva.
Peterokut još nije iscrpio svoje mogućnosti. Povezivanjem dva susjedna kuta s centrom čini trokut, koji prepolovljen daje tzv. Pitagorin trokut, pravokutan, sa stranicama 3-4-5 . kraća kateta i hipotenuza su u zlatnom odnosu
trokut unutar pentagrama sa stranicama u odnosu zlatnog reza
KONSTRUKCIJA VRTLOŽNOG PRAVOKUTNIKA
Iz osnovnog kvadrata 1:1 konstruirajmo zlatni (slika 12), i u novom pravokutniku izvucimo dijagonalu AB. Na sjecištu starog brida DE dobivamo točku F iz koje povlačimo paralelu do G. Tako smo desni kvadrat DECB presjekli na dva manja- jedan ponovno jednakostraničan (FECG), i jedan u zlatnom rezu (FGBD). Nova dijagonala (DC) i novo sjecište (H) prelamaju novi zlatni kvadrat na dva manja, opet jednakostraničan i zlatni, ali drugog, vertikalnog, usmjerenja (DFHI). Novim dijagonalama i novim sjecištima stvaraju se rotacije sve manjih zlatnih i jednakostraničnih kvadrata do određenog centra. Ako sada ubodemo šestar u toku D i spojimo gornji lijevi kut s točkom E, zatim ubodemo u točku F i spojimo E sa G, ubodemo u H i spojimo G sa I itd., dobivamo dinamičnu spiralu. Cijelu ovu konstrukciju nazivamo vrtložni pravokutnik, i on čini osnovu rasta mnogih organizama u prirodi – npr. školjke, puževi...
- teleskopi su snimili rotaciju galaksija u svemiru; one se okreću u obliku inamične spirale.
konstrukcija vrtložnog pravokutnika
- i samo ljudsko tijelo je krojeno po istim prirodnim krojevima, i da ispod praga svijesti čovjek prepoznaje i osjeća u prirodi taj uzorak koji oduvijek nosi u sebi. To je posebno zainteresiralo umjetnike koji su, neki svjesno, neki nesvjesno, ugradili ta pravila u svoja djela. “Sviđanje” u tim djelima, kao i u prirodi, je u velikoj mjeri određeno prepoznavanjem metrike kozmosa od kojeg smo svi načinjeni.
«Za one koji žele znati više!»ě
U Grčkoj, od 580-497 g. p.n.e. živio je Pitagora, čovjek koji je tražeći sustave kojima će objasniti harmonično djelovanje svijeta oko sebe postavio brojeve - ne kao jedinice kvantitete, već kao principe u kojima se ogleda kozmički red. Tako pitagorejski sustav ima monadu, jedinicu, počelo svega; dijadu i trijadu - ženski (djeljiv) i muški (nedjeljiv) broj; četiri-potpuna ženskost, dvostruka djeljivost, broj pet kao potpunost, zbroj muškog i ženskog načela; i deset kao apsolutni, sveti broj, zbroj 1+2+3+4, tetrakis kojem su se pisale i izgovarale molitve. Pitagora je putovao u Egipat i tamo doznao mnoge "mračne misterije i znanje svih stvari" uobličene u brojeve. Nakon Pitagore, Platon će 387. g. p.n.e. napisati na glavna vrata svoje Akademije: "Neka nitko ovdje ne ulazi ako ne zna geometriju"; sjeme metričke nužnosti za shvaćanje svemira već je niknulo bogatim plodom. Ubrzo, oko 300. g. p.n.e. Euklid iz Aleksandrije će pisati svoje knjige "Elemenata", u kojima, kao učenik Platonove škole govori o pitanjima geometrije i proporcija i precizno govori o podjeli date dužine tako da se manji dio (minor) odnosi prema većem (major) kao ovaj prema zbroju manjeg i većeg (tj. cjelini). Poliklet u svojim skulpturama, Fidija, Iktin i Kalikrat na Partenonu i mnogi drugi svjesno su baratali matematičkim formulama koje su određivale lijepe proporcije; tako govorimo o Grcima kao o pronalazačima zlatnog reza. Sva znanja starih Grka objedinio je rimski arhitekt Markus Vitruvius Polio iz 1. st. p.n.e. u svom kapitalnom djelu "De architectura libri decem" ili "Deset knjiga o arhitekturi", posvećenom imperaroru Augustu. Vitruvije, govoreći o simetriji hramova njihove proporcije uspoređuje sa razmjerima čovječjeg tijela. I upravo Vitruvije će ucrtati ljudsko tijelo u kružnicu što će mnogo kasnije, u 15. st., ponovno interpretirati Leonardo da Vinci. Grci uspostavljaju kanon lijepih proporcija, koje možemo pratiti na Polikletovom Doriforosu. Partenon je simbol univerzalnosti savršenih proporcija, sa mnoštvom razlaganja u zlatnim presjecima po svim osima; čak i grčke vaze su konstruirane po dinamičnim spiralama.
Na temelju matematičke razrađenosti Grka i Rimljana, proporcijama - a posebno zlatnim rezom kao njihovim ključnim čimbenikom - su se nadalje kroz povijest bavili mnogi umjetnici svjesno, a drugi su ih manje svjesno ugrađivali u svoja djela.
